O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi mirzo ulug‘bek nomidagi o‘zbekiston milliy universiteti

1.4.5-natija. Agar G gruppaning H va K qism gruppalari uchun H ∩ K = {e}
bo‘lsa, u holda |HK| = |H||K|.

1.4.2-misol. Agar G gruppaning tartibi pⁿ ga teng bo‘lsa (p – tub son), u holda uning tartibi p ga teng elementi mavjud ekanligini ko‘rsating.

n
Yechish. Gruppaning ixtiyoriy a /= e elementi uchun H = ⟨a⟩ siklik qism gruppani qarasak, ushbu siklik qism gruppaning tartibi p ning bo‘luvchisi bo‘ladi. Demak, |H| = p^m, bu yerda 0 < m ≤ n. Bundan ixtiyoriy d | p^m soni uchun H siklik gruppaning tartibi d ga teng qism gruppasi mavjudligi kelib chiqadi. Ya’ni tartibi p ga teng bo‘lgan qism gruppasi ham mavjud. Bu esa, tartibi p ga teng element mavjudligini anglatadi. Q

1.4.3-misol. Agar G kommutativ gruppaning tartibi 2 ga teng bo‘lgan ikkita turli elementi mavjud bo‘lsa, u holda gruppa tartibini 4 ga bo‘linishini ko‘rsating. Bu natija nokommutativ holda o‘rinli emasligiga misol keltiring.
Yechish. Aytaylik, G kommutativ gruppaning a va b elementlari tartiblari 2 ga teng bo‘lsin. U holda K = {e, a} va H = {e, b} qism gruppalarning ko‘paytmasi HK ni qarasak, G kommutativ bo‘lganligi uchun HK = {e, a, b, ab} ham qism gruppa bo‘ladi. Demak, G gruppaning tartibi 4 ga bo‘linadi.
Nokommutativ bo‘lgan holga misol sifatida S₃ gruppani va uning a = (1 2), b = (1 3) elementlarini keltirish mumkin. Ushbu elementlar turli bo‘lib, ularning tartiblari 2 ga teng, lekin gruppaning tartibi 4 ga bo‘linmaydi. Q

1. Mustaqil ishlash uchun misol va masalalar

   1. 
      
      Quyidagi G gruppalarning H qism gruppalari bo‘yicha o‘ng qo‘shni sinflarini aniqlang:
      
      • 
        
        G = S₃ va H = {e, (2 3)}.
        
      • 
        
        G = S₃ va H = {e, (1 2 3), (1 3 2)}.
        
      • 
        
        G = (Z, +) va H = nZ.
        
      • 
        
        G = (C, +) va H = R.
        
      • 
        
        G = (R, +) va H = Z.
        
      • 
        
        G = (R \ {0}, ·) va H = R₊.
        
      • 
        
        G = (C \ {0}, ·) va H = R \ {0}.
        
      • 
        
        G = (C \ {0}, ·) va H = {z ∈ C | |z| = 1}.
        
   2. 
      
      G = GL_n(R) va H = SL_n(R) berilgan bo‘lsa, ixtiyoriy g ∈ GL_n(R) matritsa uchun gH qo‘shni sinf determinanti g matritsaning determinantiga teng mat- ritsalardan iborat bo‘lishini isbotlang.
      

3. S₄ gruppaning H = {e, (1 2) ◦ (3 4), (1 4) ◦ (3 2), (1 3) ◦ (2 4)} qism gruppasi barcha o‘ng (chap) qo‘shni sinflarini toping.

4. 
   
   G gruppaning bo‘sh bo‘lmagan H qism to‘plami qism gruppa bo‘lishi uchun
   

HH = H bo‘lishi zarur va yetarli ekanligini isbotlang.

4. 
   
   G gruppa va uning H, K qism gruppalari berilgan bo‘lsin. Ixtiyoriy x ∈ G
   

element uchun (H ∩ K)x = Hx ∩ Kx tenglik o‘rinli ekanligini isbotlang.

4. 
   
   G gruppa va uning H, K qism gruppalari berilgan bo‘lsin. Ixtiyoriy a, b ∈ G elementlar uchun Ha ∩ Kb = ∅ bo‘lishini yoki ∃ c ∈ G uchun Ha ∩ Kb = (H ∩ K)c tenglik o‘rinli bo‘lishini isbotlang.
   
5. 
   
   Agar G gruppaning H va K qism gruppalari indekslari chekli bo‘lsa, u holda
   

H ∩ K ham chekli indeksli qism gruppa bo‘lishini isbotlang.

4. 
   
   Tartibi pq, (p, q) = 1 ga teng bo‘lgan gruppaning ixtiyoriy xos qism gruppasi siklik bo‘lishini isbotlang.
   
5. 
   

   |K| >
   

   
   |G| bo‘lsa, u holda |H ∩ K| > 1 ekanligini isbotlang.
   Agar G_√chekli gruppaning H va K qism gruppalari uchun |H| > ^√|G| va
   

4. 
   
   G chekli gruppaning A va B, A ⊂ B qism gruppalari uchun quyidagi tenglik o‘rinli bo‘lishini isbotlang
   

[G : A] = [G : B][B : A].

4. 
   
   G chekli gruppaning A va B qism gruppalari uchun quyidagilarni isbotlang: [A : A ∩ B] ≤ [G : B], [G : A ∩ B] ≤ [G : A] · [G : B].
   
5. 
   
   Tartibi 200 dan kichik bo‘lgan G gruppa berilgan bo‘lsin. Agar G gruppaning tartibi 25 va 35 ga teng bo‘lgan qism gruppalari mavjud bo‘lsa, u holda G gruppaning tartibini toping.
   
6. 
   
   Tartibi 35 ga teng bo‘lgan G gruppa berilgan bo‘lib, A va B uning mos ravishda tartibi 5 va 7 ga teng bo‘lgan qism gruppalar bo‘lsa, u holda G = AB ekanligini isbotlang.
   

5.