Biz avvalgi mavzuda G gruppaning H qism gruppasi chap va o‘ng qo‘shni sinflari tushunchasini kiritdik. Ma’lumki, agar G kommutativ gruppa bo‘lsa u holda chap va o‘ng qo‘shni sinflar ustma-ust tushadi. Gruppa kommutativ bo‘lmagan holda esa ular turli bo‘lishi ham mumkin. Qism gruppalar ichida chap va o‘ng qo‘shni sinflari ustma-ust tushadiganlari muhim ahamiyatga ega bo‘lib, bunday qism gruppalar normal qism gruppalar deb ataladi.
1.5.1-ta’rif.Bizga G gruppa va uning H qism gruppasi berilgan bo‘lsin. Agar ixtiyoriy a ∈ G element uchun aH = Ha tenglik o‘rinli bo‘lsa, u holda H qism gruppa G gruppaning normal qism gruppasi yoki normal bo‘luvchisi deb ataladi va H a G kabi belgilanadi.
Ta’kidlash joizki, ixtiyoriy G gruppaning kamida ikkita G va {e} normal qism gruppalari mavjud bo‘lib, gruppaning G va {e} dan farq qiluvchi normal qism gruppalariga xos yoki notrivial normal qism gruppalari deyiladi.
1.5.2-ta’rif.Agar G gruppaning xos normal qism gruppalari mavjud bo‘lmasa, ya’ni normal qism gruppalari faqat {e} va G lardan iborat bo‘lsa, u holda G gruppa sodda gruppa deyiladi.
Ta’kidlash joizki, kommutativ gruppaning ixtiyoriy qism gruppasi normal qism gruppa bo‘ladi. Demak, siklik bo‘lmagan kommutativ gruppalarning xos siklik qism gruppasi mavjud bo‘lib, u xos normal qism gruppa bo‘ladi. Ya’ni siklik bo‘lmagan kommutativ gruppalar sodda emas.
Tartibi murakkab son bo‘lgan chekli siklik gruppalarning ham xos qism grup- pasi mavjud, ya’ni bunday gruppalar ham sodda emas. Tartibi tub son bo‘lgan siklik gruppalar esa xos qism gruppaga ega emas. Demak, kommutativ bo‘lgan holda faqat tartibi tub songa teng bo‘lgan siklik gruppalargini sodda gruppalar bo‘ladi. Biz quyiroqda kommutativ bo‘lmagan An gruppaning sodda ekanligini ko‘rsatamiz.
Ushbu teoremada berilgan qism gruppaning normal qism gruppa bo‘lishi zaruriy va yetarlilik shartini keltiramiz.
1.5.1-teorema.G gruppaning H qism gruppasi normal qism gruppa bo‘lishi uchun ixtiyoriy a ∈ G uchun aHa−1 ⊆ H bo‘lishi zarur va yetarli.
