O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi mirzo ulug‘bek nomidagi o‘zbekiston milliy universiteti

1.5.3-ta’rif. G gruppaning H normal qism gruppasi yordamida hosil qilingan
(G/H, ∗) gruppaga faktor gruppa deb ataladi.
1.5.1-misol. G = (Z, +) gruppani H = 5Z qism gruppasi normal qism gruppa bo‘lib, G/H faktor gruppaning elementlari esa quyidagicha bo‘ladi:
Z/5Z = {5Z, 1 + 5Z, 2 + 5Z, 3 + 5Z, 4 + 5Z}.
1.5.2-misol. G = S₃ gruppani H = {e, (1 2 3), (1 3 2)} qism gruppasi normal qism gruppa bo‘lib,
G/H = {H, (1 2)H}.
1.5.3-misol. G gruppaning indeksi 2 ga teng bo‘lgan ixtiyoriy H qism gruppasi normal qism gruppa bo‘ladi. Chunki, H qism gruppaning turli chap va o‘ng qo‘shni sinflari H va G \ H dan iborat bo‘lib, a ∈ H elementlar uchun aH = H = Ha, a ∈/ H elementlar uchun esa aH = G \ H = Ha bo‘ladi.
Yuqoridagi misoldan S_n gruppaning A_n qism gruppasi normal ekanligini hosil qilamiz. Demak, S_n gruppa xos normal qism gruppaga ega, ya’ni u sodda gruppa emas.
Quyidagi misolda esa, A₄ gruppaning normal qism gruppasini keltiramiz.


1.5.4-misol. A₄ gruppaning H = {e, (1 2) ◦ (3 4), (1 4) ◦ (3 2), (1 3) ◦ (2 4)} qism gruppasi normal qism gruppa bo‘ladi. Demak, A₄ gruppa sodda gruppa emas.
Endi biz n /= 4 bo‘lgan holda A_n gruppaning sodda ekanligini ko‘rsatamiz. Ma’lumki, n = 1 va n = 2 bo‘lgan hollarda A_n to‘plam bitta elementdan iborat bo‘ladi, n = 3 bo‘lganda esa A₃ to‘plam 3 ta elementdan iborat siklik gruppa bo‘lib, uning sodda ekanligi ravshan.
1.5.4-teorema. A_n, n ≥ 5 gruppa sodda gruppadir.
Isbot. Faraz qilaylik, A_n gruppaning H /= {e} normal qism gruppasi mavjud bo‘lsin. Aytaylik, π ∈ H, π /= e element I_n = {1, 2, . . . n} to‘plamning eng kam sonini o‘zgartiradigan o‘rin almashtirish bo‘lsin. m orqali ushbu π o‘rin almashtirish o‘zgartiradigan elementlar sonini belgilaymiz, ya’ni
m = |{u ∈ I_n | π(u) /= u}|.
Faraz qilaylik m > 3 bo‘lsin. Berilgan π o‘rin almashtirishning kesishmaydigan sikllar ko‘paytmasi ko‘rinishidagi ifodasi
π = π₁ ◦ π₂ ◦ · · · ◦ π_k
bo‘lsin. Quyidagi hollarni qaraymiz.

• 
  

  ◦ ◦ ◦
  

  
  ◦ ◦ ∈

  ∈
  1-hol. π = π₁ ◦ π₂ ◦ · · · ◦ π_k ifodadagi barcha sikllar transpozitsiyalardan iborat bo‘lsin, ya’ni barcha sikllarning uzunligi 2 ga teng bo‘lsin. U holda π kamida ikkita transpozitsiyaning ko‘paytmasi ko‘rinishida yoziladi, ya’ni k ≥ 2. Aytaylik, p₁ = (a b) va p₁ = (c d) bo‘lsin. Ixtiyoriy f ∈ I_n \{a, b, c, d} son olib, σ = (c d f ) o‘rin almashtirishni qaraymiz. Ma’lumki, σ A_n bo‘lib, H normal qism gruppa bo‘lganligi uchun σ π σ⁻¹ H, ya’ni π^′ = π⁻¹ (σ π σ⁻¹) o‘rin almashtirish ham H ga tegishli bo‘ladi. Ushbu π^′ o‘rin almashtirish uchun π^′(a) = a va π^′(b) = b bo‘lib, π^′(f ) = c bo‘ladi. Bundan

  
  

tashqari, π(u) = u bo‘ladigan u ∈/ {a, b, c, d, f } sonlari uchun π^′(u) = u
bo‘ladi. Bundan esa π^′ ∈ H o‘rin almashtirish birlik elementdan farqli bo‘lib,
π o‘rin almashtirishdan kamroq sonlarni o‘zgartirishi kelib chiqadi, bu esa π
eng kam sonni o‘zgartiradigan o‘rin almashtirish ekanligiga zid.

• 
  
  2-hol. π = π₁ ◦ π₂ ◦ · · · ◦ π_k ifodadagi uzunligi 2 dan katta bo‘lgan sikl mavjud. Umimiylikka ziyon yetkazmagan holda π₁ siklning uzunligi 2 dan katta deb olish mumkin, chunki kesishmaydigan sikllar uchun kommutativ- lik xossasi o‘rinli. Agar m = 4 bo‘lsa, u holda π = π₁ bo‘lib, u toq o‘rin almashtirish bo‘lib qoladi, demak, m ≥ 5 bo‘lishi kerak, ya’ni π o‘rin al- mashtirish kamida 5 ta sonni o‘zgartiradi. Aytaylik, π₁ = (a b c . . . ) bo‘lib, d, f ∈ I_n \{a, b, c} sonlari uchun σ = (c d f ) o‘rin almashtirishni qaraylik. Bu
  

yerda ham π^′ = π⁻¹ ◦ (σ ◦ π ◦ σ⁻¹) ∈ H bo‘lib, π^′(a) = a, π^′(b) = π⁻¹(d) /= b,

bo‘ladi. Bundan tashqari, π(u) = u bo‘ladigan u ∈/ {a, b, c, d, f } sonlari
uchun π^′(u) = u. Demak, ushbu holda ham π o‘rin almashtirishdan kamroq
sonlarni o‘zgartiradigan π^′ ∈ H o‘rin almashtirish mavjud bo‘lar ekan. Bu esa π eng kam sonni o‘zgartiradigan o‘rin almashtirish ekanligiga zid.
Demak, m > 3 deb faraz qilib, tahlil qilingan har ikkala holda ham biz ziddiy- atga keldik. Bundan esa, m = 3 bo‘lishi, ya’ni A_n gruppaning ixtiyoriy H /= {e} normal qism gruppasi π = (a b c) sikl ko‘rinishidagi o‘rin almashtirishga ega ekanligi kelib chiqadi. Endi bundan foydalanib, H = A_n ekanligini ko‘rsatamiz. Ixtiyoriy ϕ = (u v w) ∈ A_n sikl uchun σ(a) = u, σ(b) = v, σ(c) = w shartni qanoatlantiruvchi σ ∈ S_n o‘rin almashtirishni qarasak, σ ◦ π ◦ σ⁻¹ = ϕ teng- lik o‘rinli. Bundan esa, H ning normal qism gruppa ekanligidan σ ∈ A_n uchun ϕ ∈ H bo‘lishi kelib chiqadi.
Agar σ ∈/ A_n bo‘lsa, u holda σ toq o‘rin almashtirish bo‘lib, d, f ∈ I_n \ {a, b, c}
sonlari yordamida tuzilgan σ ◦(d f ) o‘rin almashtirish juft bo‘ladi, ya‘ni σ ◦(d f ) ∈
A_n. Quyidagi tengliklardan
ϕ = σ ◦ π ◦ σ⁻¹ = σ ◦ (a b c) ◦ (d f ) ◦ (d f )⁻¹ ◦ σ⁻¹

= σ ◦ ◦(d f ) ◦ (a b c) ◦ (d f )⁻¹ ◦ σ⁻¹ = σ ◦ (d f ) ◦ π ◦ σ ◦ (d f ) ⁻¹,

yana ϕ ∈ H ekanligiga ega bo‘lamiz.
Shunday qilib, biz A_n gruppaning ixtiyoriy H /= {e} normal qism gruppasi barcha ϕ = (u v w) sikllarni o‘z ichiga olishini ko‘rsatdik. Uzunligi 3 ga teng bo‘lgan barcha sikllar A_n gruppani hosil qilganligi uchun H = A_n bo‘ladi (1.2.2- teoremaga qarang).

1. Mustaqil ishlash uchun misol va masalalar

   1. 
      
      SL_n(R) gruppa GL_n(R) gruppaning normal qism gruppasi ekanligini isbot- lang.
      

2. H = {e, (1 2) ◦(3 4), (1 4) ◦(3 2), (1 3) ◦(2 4)} to‘plam S₄ gruppaning normal qism gruppasi ekanligini isbotlang.

3. 
   
   A₄ gruppa uchun shunday H va K qism gruppalarni topingki, H qism gruppa
   

K da normal bo‘lib, A₄ da normal bo‘lmasin.

3. 
   
   G gruppa va H uning qism gruppasi bo‘lsin. H normal qism gruppa bo‘lishi uchun ixtiyoriy g ∈ G va h ∈ H elementlar uchun ghg⁻¹ ∈ H bo‘lishi zarur va yetarli ekanligini isbotlang.
   

3. 
   
   G gruppa va H uning qism gruppasi bo‘lsin. Agar ixtiyoriy a, b ∈ G element- lar uchun ab ∈ H munosabat o‘rinli bo‘lishidan ba ∈ H kelib chiqsa, u holda H a G ekanligini isbotlang.
   
4. 
   
   G gruppa va H, K uning qism gruppalari bo‘lsin. Agar H aG bo‘lsa, u holda (H ∩ K) a K ekanligini isbotlang.
   
5. 
   
   G gruppa va uning H normal qism gruppasi uchun faktor gruppa element- larini toping:
   
   • 
     
     G = (Z, +) va H = (2Z, +);
     
   • 
     
     G = (Q, +) va H = (Z, +);
     
   • 
     
     G = (Z₁₂, +₁₂) va H = ⟨4⟩.
     
6. 
   
   G = (R \ {0}, ·) gruppa va uning H = Q \ {0} qism gruppasi uchun G/H
   

faktor gruppaning siklik emasligini isbotlang.

3. 
   
   Agar G gruppaning H va K normal qism gruppalari uchun H ∩ K = {e} bo‘lsa, u holda ixtiyoriy h ∈ H va k ∈ K elementlar uchun hk = kh tenglik o‘rinli bo‘lishini isbotlang.
   
4. 
   
   Gruppaning H qism gruppasi va K normal qism gruppalarining ko‘paytmasi qism gruppa bo‘lishini isbotlang.
   
5. 
   
   Agar H to‘plam G gruppaning tartibi n ga teng bo‘lgan yagona qism gruppasi bo‘lsa, u holda H a G ekanligini isbotlang.
   
6. 
   
   A₄ gruppaning tartibi 6 ga teng bo‘lgan qism gruppasi mavjud emasligini isbotlang.
   
7. 
   
   A₄ gruppaning barcha qism gruppalarini toping.
   

6. Sentralizator, normalizator va kommutant

Biz avvalgi mavzuda G gruppaning markazi
Z(G) = {b ∈ G | a ∗ b = b ∗ a, ∀a ∈ G}
to‘plamni aniqlab, uning kommutativ qism gruppa bo‘lishini isbotlagan edik. Ta’kidlash joizki, gruppaning markazi nafaqat qism gruppa balki, normal qism gruppa bo‘ladi. Haqiqatdan ham, ∀a ∈ Z(G) va ∀b ∈ G uchun a ∗ b = a ∗ b ekanligidan foydalansak, b⁻¹ ∗ a ∗ b = b⁻¹ ∗ b ∗ a = a ∈ Z(G) kelib chiqadi. Demak, Z(G) a G.
Endi gruppaning sentralizatori va normalizatori tushunchalarini kiritib, ular- ning xossalarini keltiramiz. Ixtiyoriy a ∈ G element uchun

C(a) = {b ∈ G | a ∗ b = b ∗ a}
to‘plamni aniqlaymiz. Bu to‘plam a elementning sentralizatori deyiladi.