O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi mirzo ulug‘bek nomidagi o‘zbekiston milliy universiteti

2.1.5-teorema. Tartibi n ga teng bo‘lgan ixtiyoriy siklik gruppa (Z_n, +_n) grup- paga, ixtiyoriy cheksiz siklik gruppa esa (Z, +) gruppaga izomorf.


Isbot. Aytaylik, (G, ∗) tartibi n ga teng bo‘lgan siklik gruppa bo‘lsin, ya’ni G = ⟨a⟩. Quyidagi f : G → Z_n, f (aⁱ) = i, ∀ i = 0, 1, . . . , n − 1 akslantirishni qaraymiz. Ma’lumki, bu akslantirish syurektiv bo‘ladi. Bundan tashqari, uning inyektiv ekanligi quyidagi munosabatlardan kelib chiqadi:
f (aⁱ) = f (a^j) ⇒ i = j ⇒ n | (j − i) ⇒ a^i−j = e ⇒ aⁱ = a^j.
Demak, f o‘zaro bir qiymatli akslantirish ekan. Endi bu akslantirishning izomorfizm ekanligini ko‘rsatamiz:
f (aⁱ ∗ a^j) = f (a^i+j) = i + j = i +_n j = f (aⁱ) +_n f (a^j).
^{Demak, G ∼}= ^Zn.

i
Agar G = ⟨a⟩ cheksiz gruppa bo‘lsa, u holda f : G → Z akslantirishni ∀i ∈ Z uchun f (a ) = i, ko‘rinishda aniqlaymiz. Bu akslantirish ham o‘zaro bir qiymatli bo‘lib,

f (aⁱ ∗ a^j) = f (a^i+j) = i + j = f (aⁱ) + f (a^j)
^{ekanligidan uning izomorfizmligi kelib chiqadi, ya’ni G ∼}= ^Z. Yuqoridagi teoremadan ushbu natijaga ega bo‘lamiz.
2.1.1-natija. Bir xil tartibli ikkita siklik gruppa o‘zaro izomorf.
Endi ixtiyoriy chekli gruppa S_n o‘rin almashtirishlar gruppasining biror qism gruppasiga izomorf bo‘lishi haqidagi Keli teoremasini keltiramiz.
Berilgan G gruppaning ixtiyoriy a ∈ G elementi uchun quyidagi
f_a : G → G, f_a(b) = a ∗ b, ∀ b ∈ G
akslantirishni aniqlaymiz. Ushbu akslantirish biyektiv akslantirish bo‘ladi, chunki, f_a(b) = f_a(c) tenglikdan a∗b = a∗c, bundan esa b = c tenglikning kelib chiqishi bu akslantirishning inyektiv ekanligini, ixtiyoriy b ∈ G element uchun f_a(x) = b teng- likni qanoatlantiradigan x = a⁻¹∗b elementning mavjudligi esa f_a akslantirishning syurektiv ekanligini anglatadi.
Demak, f_a akslantirishni G to‘plamdagi o‘rin almashtirish deb qarash mumkin. Ma’lumki, ixtiyoriy G to‘plamdagi barcha o‘rin almashtirishlar to‘plami S(G) superpozitsiya amaliga nisbatan gruppa tashkil qiladi. Ushbu (S(G), ◦) grup- paning F (G) = {f_a| a ∈ G} qism to‘plamini qaraymiz. Quyidagi teoremada F (G) to‘plamning qism gruppa bo‘lishini va uning G gruppaga izomorf ekanligini ko‘rsatamiz.