O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi mirzo ulug‘bek nomidagi o‘zbekiston milliy universiteti

2.1.3-teorema. G gruppani G₁ gruppaga akslantiruvchi f gomomorfizm berilgan bo‘lsin, u holda Kerf a G.
Isbot. Ixtiyoriy a, b ∈ Kerf elementlar uchun
f (a) ∗₁ f (b⁻¹) = f (a) ∗₁ f (b)⁻¹ = e₁ ∗ (e₁)⁻¹ = e₁ ∗ e₁ = e₁
tengliklar o‘rinli ekanligidan, a ∗ b⁻¹ ∈ Kerf munosabat kelib chiqadi. Demak, 1.3.1-teoremaga ko‘ra Kerf to‘plam G gruppaning qism gruppasi bo‘ladi.
Endi Kerf ning normal qism gruppa ekanligini ko‘rsatamiz. Ixtiyoriy a ∈ G
va h ∈ Kerf elementlar uchun quyidagi munosabatlar o‘rinli
f (a ∗ h ∗ a⁻¹) = f (a) ∗₁ f (h) ∗₁ f (a⁻¹) = f (a) ∗₁ e₁ ∗₁ f (a)⁻¹ = e₁.
Bundan esa, a ∗ h ∗ a⁻¹ ∈ Kerf kelib chiqadi, ya’ni aKerfa⁻¹ ⊆ Kerf , demak Kerf normal qism gruppa.
Biz 2.1.1-teoremada H qism gruppaning f gomomorfizmdagi obrazi f (H) yana qism gruppa bo‘lishini ko‘rsatdik, lekin normal qism gruppa uchun bu munosabat har doim ham o‘rinli emas. Quyidagi tasdiqda normal qism gruppaning epimor- fizmdagi obrazi yana normal qism gruppa bo‘lishini ko‘rsatamiz.


2.1.1-tasdiq. Agar f : G → G₁ epimorfizm berilgan bo‘lib, H a G bo‘lsa, u holda
f (H) a G₁ bo‘ladi.
Isbot. H qism gruppa G da normal bo‘lganligi uchun, ∀h ∈ H va ∀g ∈ G elementlar uchun g ∗ h ∗ g⁻¹ ∈ H. Ixtiyoriy h₁ ∈ H₁ va g₁ ∈ G₁ elementlarni olamiz. f gomomorfizm syurektiv bo‘lganligi uchun shunday h ∈ H va g ∈ G elementlar topilib, f (h) = h₁ va f (g) = g₁ bo‘ladi. Bundan esa,
g₁ ∗₁ h₁ ∗₁ g₁⁻¹ = f (g) ∗₁ f (h) ∗₁ f (g)⁻¹ = f (g ∗ h ∗ g⁻¹) ∈ f (H)
ekanligini hosil qilamiz. Demak, f (H) to‘plam G₁ gruppaning normal qism grup- pasi.
Biz o‘tgan paragrafda G gruppa va uning H normal qism gruppasi uchun G/H faktor gruppa tushunchasini kiritgan edik. Berilgan G gruppani G/H faktor gruppaga akslantiruvchi g : G → G/H akslantirishni quyidagicha aniqlaymiz:
g(a) = aH, ∀a ∈ G.
Ushbu g akslantirish epimorfizm bo‘ladi. Chunki, g : G → G/H akslantirish aniqlanishiga ko‘ra syurektiv bo‘lib, ixtiyoriy a, b ∈ G elementlar uchun
g(a ∗ b) = (a ∗ b)H = (a ∗ H) ∗ (b ∗ H) = g(a) ∗ g(b).
Bundan tashqari Kerg = H, chunki a ∈ Kerg ekanligi g(a) = eH tenglikka, bu esa aH = eH tenglikka ekvivalent. Oxirgi tenglik esa a ∈ H munosabatga teng kuchli ekanligidan Kerg = H kelib chiqadi.