O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi mirzo ulug‘bek nomidagi o‘zbekiston milliy universiteti

2.1.1-misol. Ixtiyoriy a ∈ G uchun f (a) = e₁ ko‘rinishidagi akslantirish gomo- morfizm bo‘ladi. Haqiqatdan ham, ixtiyoriy a, b ∈ G elementlar uchun
f (a ∗ b) = e₁ = e₁ ∗₁ e₁ = f (a) ∗₁ f (b)

tenglik o‘rinli.

Yuqoridagi misolda keltirilgan gomomorfizmga trivial gomomorfizm deb ataladi. Ushbu misoldan ko‘rinadiki, ixtiyoriy G gruppani G₁ gruppaga o‘tkazuvchi gomomorfizm har doim mavjud. Bundan tashqari, G gruppani o‘ziga akslantiruvchi ayniy akslantirish ham gomomorfizmga misol bo‘ladi.
Endi gomomorfizmning muhim xossalarini keltirib o‘tamiz.
2.1.1-teorema. G gruppani G₁ gruppaga akslantiruvchi f gomomorfizm berilgan bo‘lsin. U holda quyidagilar o‘rinli:

1. 
   
   f (e) = e₁, bu yerda e va e₁ elementlar mos ravishda G va G₁ gruppalarning birlik elementlari;
   
2. 
   
   ixtiyoriy a ∈ G uchun f (a⁻¹) = f (a)⁻¹ tenglik o‘rinli;
   
3. 
   
   agar H ≤ G bo‘lsa, u holda f (H) := {f (h)| h ∈ H} ≤ G₁;
   
4. 
   
   agar H₁ ≤ G₁ bo‘lsa, u holda f ⁻¹(H₁) := {g ∈ G| f (g) ∈ H₁} ≤ G;
   
5. 
   
   agar H₁ a G₁ bo‘lsa, u holda f ⁻¹(H₁) a G;
   
6. 
   
   agar G kommutativ bo‘lsa, u holda f (G) ham kommutativ;
   
7. 
   
   agar a ∈ G elementning tartibi n ga teng bo‘lsa, u holda ord(f (a)) soni n
   

ning bo‘luvchisi bo‘ladi.
Isbot. 1) f gomomorfizm ekanligidan, f (e)∗₁f (e) = f (e∗e) = f (e) = f (e)∗₁e₁ tenglikka ega bo‘lamiz. Qisqartirish qoidasiga ko‘ra f (e) = e₁.

2. 
   
   Ixtiyoriy a ∈ G element uchun f (a) ∗₁ f (a⁻¹) = f (a ∗ a⁻¹) = f (e) = e₁.
   

∗
Shuningdek, f (a⁻¹) ₁ f (a) = e₁ tenglikni ham ko‘rsatish mumkin. Gruppadagi ixtiyoriy elementning teskari elementi yagona ekanligidan f (a⁻¹) = f (a)⁻¹ tenglik kelib chiqadi.

2. 
   
   H ≤ G bo‘lsin, u holda e ∈ H bo‘lib, teoremaning birinchi qismida berilgan
   

f (e) = e₁ xossaga ko‘ra e₁ = f (e) ∈ f (H) munosabat o‘rinli. Demak, f (H) /= ∅.
Ixtiyoriy f (a), f (b) ∈ f (H) elementlarni qaraymiz, bu yerda a, b ∈ H. U holda
f (a) ∗₁ f (b)⁻¹ = f (a) ∗₁ f (b⁻¹) = f (a ∗ b⁻¹)
kelib chiqadi. H ≤ G bo‘lganligi uchun a ∗ b⁻¹ ∈ H, ya’ni f (a) ∗₁ f (b)⁻¹ ∈ f (H). Demak, 1.3.1-teoremaga ko‘ra f (H) ≤ G₁.

2. 
   
   Teoremaning birinchi qismiga ko‘ra, e ∈ f ⁻¹(H₁), demak f ⁻¹(H₁) =/ ∅.
   

Ixtiyoriy f (a), f (b) ∈ H₁ elementlar uchun
f (a ∗ b⁻¹) = f (a) ∗₁ f (b⁻¹) = f (a) ∗₁ f (b)⁻¹ ∈ H₁.
Demak, a ∗ b⁻¹ ∈ f ⁻¹(H₁) bo‘lib, 1.3.1-teoremaga ko‘ra f ⁻¹(H) ≤ G.

2. 
   
   H₁ a G₁ ekanligidan ixtiyoriy f (g) ∈ G₁ element uchun f (g)H₁f (g)⁻¹ ⊆ H₁. Ixtiyoriy g ∈ G uchun gf ⁻¹(H₁)g⁻¹ ⊆ f ⁻¹(H₁) munosabat o‘rinli bo‘lishini ko‘rsatish kifoya. Agar gf ⁻¹(H₁)g⁻¹ to‘plamdan ixtiyoriy a element olsak, bu elementni a = g ∗ b ∗ g⁻¹ ko‘rinishda yozish mumkin, bu yerda b ∈ f ⁻¹(H₁). U holda
   

f (a) = f (g ∗ b ∗ g⁻¹) = f (g) ∗₁ f (b) ∗₁ f (g⁻¹) = f (g) ∗₁ f (b) ∗₁ f (g)⁻¹ ∈ H₁.
Demak, a ∈ f ⁻¹(H₁), bundan esa g ∗ f ⁻¹(H₁) ∗ g⁻¹ ⊆ f ⁻¹(H₁) kelib chiqadi.
Shunday qilib, f ⁻¹(H₁) a G.

2. 
   
   Agar G kommutativ gruppa bo‘lsa, u holda ixtiyoriy f (a), f (b) ∈ f (G) elementlar uchun f (a) ∗₁ f (b) = f (a ∗ b) = f (b ∗ a) = f (b) ∗₁ f (a) tengliklardan f (G) gruppaning ham kommutativ ekanligi kelib chiqadi.
   
3. 
   
   Ushbu (f (a))ⁿ = f (aⁿ) = f (e) = e₁ tengliklardan, 1.1.1-teoremaga ko‘ra ord(f (a)) soni n ning bo‘luvchisi ekanligi kelib chiqadi.