O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi mirzo ulug‘bek nomidagi o‘zbekiston milliy universiteti

2.3.6-teorema (izomorfizm haqidagi uchinchi teorema). G gruppa va uning
H₁, H₂ (H₁ ⊆ H₂) normal qism gruppalari berilgan bo‘lsin. U holda
^{(G/H1)/(H2/H1) ∼}= ^G/H2.



Isbot. 2.3.5-teorema shartidagi G₁, H va G₁/f (H) gruppalar o‘rniga mos rav- ishda G/H₁, H₂ va (G/H₁)/(H₂/H₁) gruppalarni qo‘yib, f sifatida f : G → G/H₁ tabiiy gomomorfizmni qarasak, f (H₂) = H₂/H₁ tenglik o‘rinli bo‘lib, teoremaning isboti kelib chiqadi, ya’ni



Aytaylik, G gruppani G₁ guppaga akslantiruvchi f epimorfizm berilgan bo‘lsin. G gruppaning ushbu gomomorfizm yadrosini o‘z ichiga oluvchi barcha qism grup- palari oilasini Ω(G, Kerf ) kabi, G₁ gruppaning barcha qism gruppalari oilasini esa Ω(G₁) kabi belgilaymiz.

2.3.7-teorema (Moslik teoremasi). Agar G gruppani G₁ guppaga akslanti- ruvchi f epimorphizm berilgan bo‘lsa, u holda ushbu epimorfizm yordamida o‘zaro bir qiymatli f ^∗ : Ω(G, Kerf ) → Ω(G₁) moslik o‘rnatish mumkin. Bundan tashqari, ushbu f ^∗(H) = K moslikda H a G bo‘lishi uchun K a G₁ bo‘lishi zarur va yetarli.
Isbot. f ^∗ : Ω(G, Kerf ) → Ω(G₁) akslantirishni quyidagicha aniqlaymiz:
∀H ∈ Ω(G, Kerf ) uchun f ^∗(H) = {f (h) | h ∈ H}.

∈
Dastlab, ushbu akslantirishning syurektiv ekanligini ko‘rsatamiz. Aytaylik, K ∈ Ω(G₁) bo‘lsin. Ushbu K qism gruppaning proobrazi f ⁻¹(K) ni H orqali belgilaylik. Ma’lumki, H to‘plam G gruppaning qism gruppasi bo‘lib, u Kerf ni o‘z ichiga oladi, ya’ni H Ω(G, Kerf ). Bundan tashqari, f ^∗(H) = K ekan- ligidan, f ^∗ akslantirishning syurektivligi kelib chiqadi. Endi ushbu akslantirish- ning inyektiv ekanligini ko‘rsatamiz. Aytaylik, H₁, H₂ ∈ Ω(G, Kerf ) bo‘lib f ^∗(H₁) = f ^∗(H₂) bo‘lsin. U holda ixtiyoriy h ∈ H₁ uchun shunday h₂ ∈ H₂ element topilib, f (h₁) = f (h₂) bo‘ladi. Bundan esa, f (h₁ · h⁻₂ ¹) = e₁ ekanligi,

ya’ni h₁ · h₂⁻¹ ∈ Kerf ⊆ H₂ kelib chiqadi. h₁ = (h₁ · h₂⁻¹) · h₂ ∈ H₂ ekanligidan esa
H₁ ⊆ H₂ munosabatga ega bo‘lamiz. Xuddi shunday, H₂ ⊆ H₁ munosabatni ham
hosil qilish mumkin. Demak, H₁ = H₂, ya’ni f ^∗ o‘zaro bir qiymatli akslantirish. Endi teoremaning ikkinchi qismini isbotlaymiz. Aytaylik, f ^∗(H) = K bo‘lib,
H a G bo‘lsin. U holda a ∈ G va h ∈ K elementlar uchun a · h · a⁻¹ ∈ H bo‘ladi.
Ya’ni f (a) ∈ G₁ va f (h) ∈ K elementlar uchun
f (a) · f (h) · f (a)⁻¹ = f (a · h · a⁻¹) ∈ K.
Demak, K to‘plam G₁ gruppaning normal qism gruppasi.

Va aksincha, agar K ∈ Ω(G₁) bo‘lsa, u ixtiyoriy a ∈ G va h ∈ K elementlar uchun f (a · h · a⁻¹) = f (a) · f (h) · f (a)⁻¹ ∈ K, ya’ni a · h · a⁻¹ ∈ H. Demak, H a G.
Yuqoridagi teoremada G₁ gruppa o‘rniga G gruppaning biror normal qism gruppasi N bo‘yicha G/N faktor gruppasini olib, g : G → G/N tabiiy gomomor- fizmni qarasak, quyidagi natijaga ega bo‘lamiz.