O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi mirzo ulug‘bek nomidagi o‘zbekiston milliy universiteti

2.3.1-ta’rif. θ_a ko‘rinishidagi avtomorfizmga ichki avtomorfizm deyiladi. G
gruppaning barcha ichki avtomorfizmlar to‘plami Inn(G) kabi belgilanadi.
2.3.1-tasdiq. Ichki avtomorfizmlar quyidagi xossalarga ega:
1) θ_a ◦ θ_b = θ_a·b; 2) (θ_a)⁻¹ = θ_a⁻¹ ;

3. 
   
   ixtiyoriy ϕ ∈ Aut(G) uchun ϕ ◦ θ_a ◦ ϕ⁻¹ = θ_ϕ(a).
   

Isbot. 1) Ixtiyoriy a, b ∈ G elementlar uchun
(θ_a ◦ θ_b)(c) = θ_a(θ_b(c)) = θ_a(b · c · b⁻¹)
= a · (b · c · b⁻¹) · a⁻¹ = (a · b) · c · (a · b)⁻¹ = θ_a·b(c).
Demak, θ_a ◦ θ_b = θ_ab.

2. 
   
   θ_a ◦ θ_a⁻¹ = θ_a·a⁻¹ = θ_e = i_G va θ_a⁻¹ ◦ θ_a = θ_a⁻¹_·a = θ_e = i_G ekanligidan (θ_a)⁻¹ = θ_a⁻¹ kelib chiqadi.
   
3. 
   
   Ixtiyoriy ϕ ∈ Aut(G) uchun
   

(ϕ ◦ θ_a ◦ ϕ⁻¹)(b) = ϕ(θ_a(ϕ⁻¹(b))) = ϕ(a · ϕ⁻¹(b) · a⁻¹)
= ϕ(a) · ϕ(ϕ⁻¹(b)) · ϕ(a⁻¹) = ϕ(a) · b · (ϕ(a))⁻¹ = θ_ϕ(a)(b).
Demak, ϕ ◦ θ_a ◦ ϕ⁻¹ = θ_ϕ(a).
2.3.8-teorema. G gruppaning Inn(G) ichki avtomorfizmlari Aut(G) avtomor- fizmlar gruppasining normal qism gruppasi bo‘ladi, ya’ni Inn(G) a Aut(G).


Isbot. Ayniy akslantirish uchun i_G = θ_e ekanligidan i_G ∈ Inn(G) kelib

b
chiqadi. Ixtiyoriy θ_a, θ_b ∈ Inn(G) uchun θ_a ◦ θ⁻¹ = θ_a ◦ θ_b⁻¹ = θ_a·b⁻¹ ∈ Inn(G)

bo‘lganligi uchun Inn(G) qism gruppa bo‘ladi. Va nihoyat, ∀ϕ ∈ Aut(G) uchun
ϕ ◦ θ_a ◦ ϕ⁻¹ = θ_ϕ(a) ∈ Inn(G) ekanligidan Inn(G) a Aut(G) kelib chiqadi.
Ta’kidlash joizki, G gruppaning markazi Z(G) normal qism gruppa bo‘lib, G/Z(G) faktor gruppa esa G gruppaning ichki avtomorfizmlar gruppasiga izomorf bo‘ladi. Ya’ni quyidagi teorema o‘rinli.
2.3.9-teorema. G gruppa berilgan bo‘lib, Z(G) uning markazi bo‘lsin. U holda
^{G/Z(G) ∼}= ^Inn(G).
Isbot. G gruppadan Inn(G) gruppaga f : G → Inn(G) akslantirishni quyi- dagicha aniqlaymiz
f (a) = θ_a, ∀a ∈ G.
Ma’lumki, ushbu akslantirish syurektiv bo‘lib, u gomomorfizm bo‘ladi. Haqiqat- dan ham, ixtiyoriy a₁, a₂ ∈ G uchun
f (a₁ · a₂) = θ_a1·a2 = θ_a1 ◦ θ_a2 = f (a₁) ◦ f (a₂).
Endi ushbu gomomorfizmning yadrosini topamiz:
Kerf = {a ∈ G | f (a) = i_G}
= {a ∈ G | θ_a = i_G}
= {a ∈ G | θ_a(b) = i_G(b), ∀b ∈ G}
= {a ∈ G | a · b · a⁻¹ = b, ∀b ∈ G}
= {a ∈ G | a · b = b · a, ∀b ∈ G}
= Z(G).

Demak, Kerf = Z(G) bo‘lar ekan. U holda izomorfizm haqidagi birinchi ^{teoremaga ko‘ra G/Z(G) ∼}= ^{Inn(G) kelib chiqadi.}

2.3.2-misol. (Z, +) gruppaning barcha gomomorf obrazlarini toping.
Yechish. Aytaylik H gruppa (Z, +) gruppaning gomomorf obrazi bo‘lsin, ya’ni f : Z → H epimorfizm mavjud. U holda izomorfizmning birinchi teore- ^{masiga ko‘ra Z/Kerf ∼}= ^{H. Kerf yadro Z gruppaning normal qism gruppasi
bo‘lganligi uchun, Kerf = nZ bo‘ladi, bu yerda n ≥ 0. Demak, H ∼}= ^Z/nZ.
Ma’lumki, Z/nZ gruppa n = 0 da Z ga n > 0 da esa Z_n ga izomorf bo‘ladi. Shun- day qilib, Z gruppaning gomomorf obrazlari Z va Z_n ekanligiga ega bo‘lamiz.
2.3.3-misol. Agar chekli G gruppadan Z₈ gruppaga epimorfizm mavjud bo‘lsa, u holda G indeksi 4 va 2 ga teng bo‘lgan qism gruppalarga ega ekanligini isbotlang.


Yechish. Aytaylik, f : G → Z₈ epimorfizm bo‘lsin, u holda izomorfizmning ^{birinchi teoremasiga ko‘ra G/Kerf ∼}= ^{Z8. Demak, G/Kerf tartibi 8 ga teng bo‘lgan}
siklik gruppa. Bundan esa, G/Kerf tartibi 4 va 2 ga teng bo‘lgan H₁ va H₂ normal qism gruppalarga ega ekanligi kelib chiqadi. Moslik teoremasiga ko‘ra esa G gruppaning N₁ va N₂ normal qism gruppalari mavjud bo‘lib,
Kerf ⊆ N₁, N₁/Kerf = H₁ va Kerf ⊆ N₂, N₂/Kerf = H₂
bo‘ladi. Bundan esa,
[G : Kerf ] 8

[G : N₁] =

[N₁
=
: Kerf ]
= 2,
4

[G : Kerf ] 8

kelib chiqadi.

[G : N₂] =
[N₂
= = 4
: Kerf ] 2