O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi mirzo ulug‘bek nomidagi o‘zbekiston milliy universiteti

2.3.4-teorema (izomorfizm haqidagi ikkinchi teorema). Bizga G gruppa va uning H, K qism gruppalari berilgan bo‘lsin. Agar K a G bo‘lsa, u holda
^{H/(H ∩ K) ∼}= ^(HK)/K.
Isbot. Ixtiyoriy h ∈ H element uchun f : H → (HK)/K akslantirishni f (h) = hK ko‘rinishida aniqlaymiz. Ushbu f akslantirish gomomorfizm bo‘ladi, chunki ixtiyoriy h₁, h₂ ∈ H elementlar uchun
f (h₁ ∗ h₂) = (h₁ ∗ h₂)K = (h₁K) ∗ (h₂K) = f (h₁) ∗ f (h₂).
Ixtiyoriy xK ∈ (HK)/K element uchun x = h ∗ k tenglikni qanoatlantiruvchi
h ∈ H va k ∈ K elementlar topiladi. Shuningdek,
xK = (h ∗ k)K = (hK) ∗ (kK) = hK = f (h)
tenglik o‘rinli ekanligidan f akslantirishning syurektivligi kelib chiqadi, ya’ni
f (H) = (HK)/K. U holda gomomorfizmning birinchi teoremasiga ko‘ra,
^{H/Kerf ∼}= ^(HK)/K
munosabat o‘rinli bo‘ladi.

Endi, Kerf = H ∩ K ekanligini ko‘rsatamiz. Aniqlanishiga ko‘ra Kerf = {h ∈ H| f (h) element (HK)/K ning birlik elementi}.

Bundan esa,
Kerf = {h ∈ H| hK = K} = {h ∈ H| h ∈ K} = H ∩ K

^{kelib chiqadi. Demak, H/(H ∩ K) ∼}= ^(HK)/K.
2.3.5-teorema. Bizga f : G → G₁ epimorfizm berilgan bo‘lib, H a G uchun Kerf ⊆ H bo‘lsin. Agar g : G → G/H va g₁ : G₁ → G₁/f (H) tabiiy go- momorfizmlar bo‘lsa, u holda g₁ ◦ f = h ◦ g shartni qanoatlantiruvchi yagona h : G/H → G₁/f (H) izomorfizm mavjud.
Isbot. Teoremani isbotlash uchun Ker(g₁ ◦ f ) = H tenglik o‘rinli ekan- ligi ko‘rsatish kifoya. Chunki, bu tenglikdan 2.3.1-teoremaga ko‘ra, yagona h : G/H → G₁/f (H) izomorfizm mavjud ekanligi kelib chiqadi. Ixtiyoriy a ∈ H element uchun f (a) ∈ f (H) = Ker g₁ ekanligidan (g₁ ◦ f )(a) = g₁(f (a)) ele- ment G₁/f (H) faktor gruppaning birlik elementiga tengligi kelib chiqadi. Ya’ni, a ∈ Ker(g₁ ◦ f ), bundan esa H ⊆ Ker(g₁ ◦ f ) kelib chiqadi.
Agar a ∈ Ker(g₁ ◦ f ) bo‘lsa, u holda g₁(f (a)) element G₁/f (H) gruppaning birlik elementi bo‘ladi, bundan esa f (a) ∈ Ker g₁ = f (H) kelib chiqadi. Natijada, f (a) = f (b) tenglikni qanoatlantiradigan b ∈ H element topiladi. U holda
f (a) = f (b) ⇒ f (a ∗ b⁻¹) = e₁ ⇒ a ∗ b⁻¹ ∈ Ker f ⊆ H,

ya’ni
a = (a ∗ b⁻¹) ∗ b ∈ H ⇒ Ker(g₁ ◦ f ) ⊆ H.

Demak, Ker(g₁ ◦ f ) = H.