O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi mirzo ulug‘bek nomidagi o‘zbekiston milliy universiteti

2.2.1-teorema. Ixtiyoriy to‘rtinchi tartibli gruppa Z₄ va K₄ gruppalardan biriga izomorf.
Isbot. Aytaylik, G = {e, a, b, c} to‘rtinchi tartibli gruppa bo‘lib, u siklik ^{gruppa bo‘lsin, u holda G ∼}= ^{Z4. Demak, G siklik bo‘lmagan holni qarash,}
ya’ni siklik bo‘lmagan to‘rtinchi tartibli gruppani K₄ ga izomorf ekanligini ko‘rsatish kifoya. G gruppa siklik bo‘lmaganligi uchun uning to‘rtinchi tar- tibli elementi mavjud emas. Ixtiyoriy elementning tartibi gruppaning tartibi bo‘luvchisi bo‘lganligi uchun a, b, c elementlarning tartiblari 2 ga teng bo‘ladi, ya’ni a² = b² = c² = e. Endi a · b elementning c ga tengligini ko‘rsatamiz. Faraz qilaylik a · b = e bo‘lsin, u holda a = a · e = a · (a · b) = a² · b = b tenglikdan a = b ekanligini hosil qilamiz, bu esa ziddiyat, demak a · b /= e. Agar a · b = a bo‘lsa ham e = a · a = a · (a · b) = a² · b = b tenglikdan e = b ekanligini hosil qilib, yana ziddiyatga kelamiz, ya’ni a · b /= a. Xuddi shunga o‘xshab a · b /= b ham kelib chiqadi, demak, a · b = c. Yuqoridagi kabi b · a = c tenglikni ham ko‘rsatish mumkin. Bundan tashqari
a · c = c · a = b, b · c = c · b = a
tengliklar ham shu usul bilan ko‘rsatiladi. Bu esa, to‘rtinchi tartibli ixtiyoriy siklik bo‘lmagan gruppa K₄ ga izomorf ekanligini bildiradi.
Endi oltinchi tartibli gruppalarni o‘rganamiz. Ma’lumki, Z₆ siklik gruppa va S₃ o‘rin almashtirishlar gruppasi oltinchi tartibli gruppalar bo‘ladi. Ta’kidlash joizki, S₃ siklik bo‘lmagan nokommutativ gruppadir, shuning uchun Z₆ va S₃
gruppalar izomorf emas. Bundan tashqari S₃ eng kichik tartibli nokommutativ gruppadir. Quyidagi teoremada izomorfizm aniqligida faqat 2 ta oltinchi tartibli gruppa mavjud ekanligini ko‘rsatamiz.

2.2.2-teorema. Ixtiyoriy oltinchi tartibli gruppa Z₆ va S₃ gruppalardan biriga izomorf.

∈
Isbot. Aytaylik, G oltinchi tartibli siklik bo‘lmagan gruppa bo‘lsin. G ning tartibi juft son bo‘lganligi uchun unda tartibi 2 ga teng bo‘lgan a G element mavjud, ya’ni a² = e. Agar G gruppaning barcha elementlari ikkinchi tartibli bo‘lsa, u holda G kommutativ gruppa bo‘lib, uning turli a, b elementlari orqali hosil qilingan qism gruppa e, a, b, ab elementlardan iborat bo‘ladi. Bu esa ziddiyat, chunki 6-tartibli gruppa 4-tartibli qism gruppaga ega emas. Demak, G gruppaning tartibi 2 dan farqli elementi mavjud. G siklik emasligini va barcha elementining tartibi 6 ning bo‘luvchisi ekanligini hisobga olsak, tartibi 3 ga teng bo‘lgan b ∈ G element mavjudligini hosil qilamiz. Demak, ord(a) = 2 va ord(b) = 3. Ma’lumki, H = {e, b, b²} to‘plam G gruppaning indeksi 2 ga teng bo‘lgan qism gruppasi bo‘lib, ixtiyoriy gruppaning indeksi 2 ga teng qism gruppasi normal bo‘lganligi

uchun H a G. Ikkinchi tomondan esa a ∈/ H ekanligidan G = H ∪ aH kelib
chiqadi, ya’ni G = {e, b, b², a, a · b, a · b²}. Endi b · a va b² · a elementlarni qaraymiz. Buning uchun H ning normal ekanligidan foydalansak, a⁻¹ · b · a ∈ H. Demak, a⁻¹ · b · a element e, b va b² elementlardan biriga teng bo‘lishi kerak.
Agar a⁻¹ · b · a = e bo‘lsa, u holda b = a · e · a⁻¹ = e. Bu esa ziddiyat. Agar a⁻¹ · b · a = b bo‘lsa, u holda b · a = a · b bo‘lib, ord(a · b) = ord(a) · ord(b) = 6 kelib chiqadi. Bu ham G ning siklik emasligiga zid. Demak a⁻¹ · b · a = b², ya’ni b · a = a · b² kelib chiqadi. Xuddi shunga o‘xshab, b² · a = a · b tenglikka ega bo‘lamiz. Ya’ni G gruppa {e, b, b², a, a · b, a · b²} elementlardan iborat bo‘lib,
a² = b³ = e, b · a = a · b², b² · a = a · b.
Shunday qilib, biz ixtiyoriy oltinchi tartibli siklik bo‘lmagan gruppa yagona gruppaga izomorf bo‘lishini, xususan S₃ ga izomorf bo‘lishini ko‘rsatdik.
Quyidagi misolda ikkita hosil qiluvchi elementga ega bo‘lgan n-darajali diedr gruppasini keltiramiz.