1.4.2-natija. G gruppaning ixtiyoriy H qism gruppasi va ixtiyoriy a ∈ G elementi uchun |H| = |aH| = |Ha| tengliklar o‘rinli.
Demak, chekli H qism gruppaning barcha chap va o‘ng qo‘shni sinflari element- lari soni bir xil bo‘lgan to‘plamlardan iborat bo‘lar ekan. Quyidagi teoremada esa, barcha chap qo‘shni sinflar soni barcha o‘ng qo‘shni sinflar soniga teng bo‘lishini ko‘rsatamiz.
1.4.4-teorema. G gruppaning H qism gruppasini barcha chap va o‘ng qo‘shni sinflaridan tashkil topgan sistemalar o‘rtasida o‘zaro bir qiymatli moslik mavjud, ya’ni |LH| = |RH|.
Isbot. Ma’lumki, teoremani isbotlash uchun f : LH → RH biyektiv ak- slantirish qurish kifoya. f akslantirishni quyidagicha aniqlaymiz: f (aH) = Ha−1, aH ∈ LH.
∗ ∈
∗ ∈
Dastlab, bu akslantirishning to‘g‘ri aniqlangan ekanligini ko‘rsatamiz. Agar aH = bH bo‘lsa, u holda 1.4.1-teoremaning 1-bandiga ko‘ra, b−1 a H muno- sabat o‘rinli bo‘ladi. Natijada, b−1 (a−1)−1 H va 1.4.1-teoremaning 2-bandiga ko‘ra, Hb−1 = Ha−1 tenglikka ega bo‘lamiz. Ya’ni f (aH) = f (bH) tenglik o‘rinli. Demak, f to‘g‘ri aniqlangan akslantirish ekan.
Endi f akslantirishning inyektiv ekanligini ko‘rsatamiz. Darhaqiqat, agar f (aH) = f (bH) o‘rinli bo‘lsa, u holda Ha−1 = Hb−1 bo‘lib, 1.4.1-teoremaning 2-bandiga ko‘ra a−1 ∗ (b−1)−1 ∈ H, ya’ni a−1 ∗ b ∈ H. O‘z navbatida, b−1 ∗ a = (a−1 ∗ b)−1 ∈ H munosabatdan aH = bH tenglik kelib chiqadi, ya’ni f akslantirish inyektiv bo‘ladi.
∈ R
ushbu f akslantirishning syurektiv ekanligi esa, ixtiyoriy Ha H element uchun Ha = H(a−1)−1 = f (a−1H) munosabat o‘rinli ekanligidan kelib chiqadi. Demak, f : LH → RH akslantirish biyektiv.
Shunday qilib, biz G gruppaning H qism gruppasi bo‘yicha olingan chap yoki o‘ng qo‘shni sinflari soni bir xil ekanligini ko‘rsatdik. Ularning soniga H qism grup- paning G gruppadagi indeksi deb ataladi va [G : H] kabi belgilanadi. Ma’lumki, agar G chekli gruppa bo‘lsa, u holda [G : H] indeks ham chekli bo‘ladi.
Endi ushbu mavzuning asosiy teoremasi hisoblangan Lagranj teoremasini kelti- ramiz.
Dostları ilə paylaş: |
