qism gruppasi bo‘lishini isbotlang. S4 gruppaning tartibi 4 ga teng bo‘lgan barcha qism gruppalarini aniqlang.
S4 gruppaning H = ⟨(1 2), (1 2 3 4)⟩ qism gruppasini aniqlang.
Sn gruppa uchun quyidagilarni isbotlang:
Sn = ⟨(1 2), (1 3), . . . , (1 n)⟩.
Sn = ⟨(1 2), (1 2 3 . . . , n)⟩.
Sn = ⟨(1 2), (2 3), . . . , (n − 1 n)⟩.
An = ⟨(1 2 3), (1 2 4), . . . , (1 2 n)⟩.
G gruppaning a va b elementlari uchun ord(a) = 6, ord(b) = 2, va (ab)2 = e
tengliklar o‘rinli bo‘lsa, u holda quyidagilarni isbotlang:
aba = b.
(a2b)2 = e.
ba2b = a4.
ba3b = a3.
Kommutativ gruppaning barcha chekli tartibli elementlaridan tuzilgan to‘plam qism gruppa bo‘lishini isbotlang.
Barcha elementlarining tartibi chekli bo‘lgan cheksiz gruppa mavjudmi?
G gruppani ikkita xos qism gruppalarning birlashmasi ko‘rinishida tasvirlab bo‘lmasligini isbotlang.
Gruppaning ikkita qism gruppasi birlashmasi qism gruppa bo‘lishi uchun biri ikkinchisining ichida yotishi zarur va yetarli ekanligini isbotlang.
G gruppaning H qism gruppasi uchun ⟨H⟩ = H tenglik o‘rinli ekanligini isbotlang.
Tartibi 30 ga teng bo‘lgan ⟨a⟩ siklik gruppa berilgan bo‘lsin. U holda quyidagi qism gruppalarning elementlarini toping:
⟨a2⟩.
⟨a3⟩.
⟨a4⟩.
⟨a5⟩.
⟨a6⟩.
Tartibi 20 ga teng bo‘lgan siklik gruppaning tartibi 5 ga teng bo‘lgan ele- mentlari sonini aniqlang.
Quyidagi gruppalardan qaysilari siklik gruppa bo‘ladi:
(2Z, +).
(Q, +).
(R, +).
({z ∈ C | zn = 1}, ·) – birning n-darajali barcha kompleks ildizlari to‘plamining multiplikativ gruppasi.
(Q \ {0}, ·).
(R \ {0}, ·).
GL2(C) gruppaning quyidagi qism gruppalarini aniqlang:
−1 0
A = 0 1 .
1 0
* −1 0 0 + B = 0 i .
C =
0 0 1 .
0 1 0
GL2
(R) gruppaning A = 0 1 va B = 0 1 elementlarining
−1 0 −1 −1
tartiblarini toping. ⟨AB⟩ siklik gruppa GL2(R) gruppaning cheksiz siklik
gruppasi bo‘lishini isbotlang.
Elementlari butun sonlardan iborat bo‘lgan n-tartibli ortogonal matritsalar to‘plami O(Z) gruppa tashkil qilishini ko‘rsating, hamda uning tartibini aniqlang.