1.4.2-teorema. Bizga G gruppa va uning H qism gruppasi berilgan bo‘lsin. Ix- tiyoriy a, b ∈ G elementlar uchun aH = bH yoki aH ∩ bH = ∅ munosabatlardan biri o‘rinli, ya’ni qo‘shni sinflar yoki ustma-ust tushadi, yoki kesishmaydi.
Isbot. Faraz qilaylik ixtiyoriy a, b ∈ G elementlar uchun aH ∩ bH /= ∅ o‘rinli bo‘lsin. U holda c ∈ aH ∩ bH element mavjud, ya’ni c ∈ aH va c ∈ bH. Bundan esa, c elementni c = a ∗ h1 va c = b ∗ h2 kabi ifodalash mumkinligi kelib chiqadi, bu yerda h1, h2 ∈ H. Natijada, a ∗ h1 = b ∗ h2 tenglikka, bu tenglikdan esa,
b−1 ∗ a = h2 ∗ h−1 1 munosabatga ega bo‘lamiz, ya’ni b−1 ∗ a ∈ H. U holda 1.4.1-
teoremadan aH = bH tenglik kelib chiqadi. Demak, agar aH ∩ bH /= ∅ bo‘lsa, u
holda aH = bH bo‘lar ekan.
1.4.1-natija. G gruppa va uning H qism gruppasi berilgan bo‘lsin. U holda
{aH | a ∈ G} to‘plamlar sistemasi G gruppaning o‘zaro kesishmaydigan bo‘lak- laridan iborat bo‘ladi.
Berilgan G gruppaning H qism gruppasining barcha chap qo‘shni sinflaridan tashkil topgan sistemani LH := {aH | a ∈ G} kabi, barcha o‘ng qo‘shni sinflaridan tashkil topgan sistemani esa RH := {Ha | a ∈ G} kabi belgilaymiz.
1.4.3-teorema. H, aH va Ha to‘plamlar orasida o‘zaro bir qiymatli moslik o‘rnatish mumkin.
Isbot. Ixtiyoriy a ∈ G element uchun aH chap qo‘shni sinf berilgan bo‘lsin. f : H → aH, f (h) = ah akslantirishni qarab, bu akslantirishni o‘zaro bir qiymatli, ya’ni biyektiv ekanligini ko‘rsatamiz. Ushbu
f (h1) = f (h2) ⇒ a ∗ h1 = a ∗ h2 ⇒ h1 = h2 tengliklardan f akslantirishning inyektiv ekanligi kelib chiqadi.
O‘z navbatida ixtiyoriy a ∗ h ∈ aH element uchun f (h) = a ∗ h tenglikni qanoatlantiradigan h ∈ H element doim topilganligi uchun f akslantirish syurek- tiv bo‘ladi. Demak, biz qurgan f akslantirish biyektiv ekan, ya’ni H va aH to‘plamlar orasida o‘zaro bir qiymatli moslik mavjud. H va Ha to‘plamlar orasidagi o‘zaro bir qiymatli moslik ham yuqoridagi kabi o‘rnatiladi.
