O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi mirzo ulug‘bek nomidagi o‘zbekiston milliy universiteti

1.2.3-misol. Quyidagi (1 3 5 7) ◦ (2 3 5 4) ∈ S₇ elementning tartibini toping.
Yechish. Dastlab, ushbu elementlarning ko‘paytmasini topib, so‘ngra uni sikllar ko‘paytmasi shaklida ifodalaymiz

◦

3 2 5 4 7 6 1

1 3 5 2 4 6 7
(1 3 5 7) ◦ (2 3 5 4) = ^{1 2 3 4 5 6 7} ◦ ^{1 2 3 4 5 6 7}
= ^{1 2 3 4 5 6 7} = (1 3 7) (2 5 4).

3 5 7 2 4 6 1
Demak, berilgan element uzunligi uchga teng bo‘lgan ikkita kesishmaydigan sikllarning ko‘paytmasi ko‘rinishida ifodalandi. Har bir siklning tartibi uchga teng bo‘lganligi uchun berilgan elementning tartibi ham 3 ga teng ekanligini kelib chiqadi. Q

1. Mustaqil ishlash uchun misol va masalalar

   1. 
      
      • 
        
      
      Quyidagi o‘rin almashtirishlarni o‘zaro kesishmaydigan sikllar ko‘paytmasi ko‘rinishida yozing. Shuningdek, berilgan o‘rin almashtirishlarni transpo- zitsiyalar ko‘rinishida ifodalang:
      

1 2 3 4 5 6 _.

• 
  

3 5 4 1 6 2
1 2 3 4 5 6 _.

• 
  

3 2 1 5 4 6
1 2 3 4 5 6 7 _.
2 5 4 3 6 7 1

•
1 2 3 4 5 6 7 8 _.

2 5 4 8 1 7 3 6

2. 
   
   Quyidagi α va β o‘rin almashtirishlar uchun α ◦ β ◦ α⁻¹ ifodani toping:
   
   • 
     
     α = (1 2 5 7), β = (2 4 6) ∈ S₇.
     
   • 
     
     α = (1 3 5 7), β = (2 4 8) ◦ (1 3 6) ∈ S₈.
     
   • 
     
     α = (1 3) ◦ (5 8), β = (2 3 6 7) ∈ S₈.
     
   • 
     
     α = (2 5 9) ◦ (1 3 6), β = (1 5 7) ◦ (2 4 6 9) ∈ S₉.
     

3. (1 3 5 7) va (2 3 6 8) ∈ S₈ sikllar uchun α ◦ (1 3 5 7) ◦ α⁻¹ = (2 3 6 8) tenglikni qanoatlantiruvchi α o‘rin almashtirishni toping.

4. 
   
   Quyidagi elementlarning tartiblarini aniqlang:
   
   • 
     
     (1 2 3) ◦ (4 5) ∈ S₅.
     
   • 
     
     (1 2 4 3) ◦ (5 6) ∈ S₆.
     
   • 
     
     (1 7 4 3) ◦ (2 6 5) ∈ S₇.
     
   • 
     
     (1 2 4 3) ◦ (2 6 5) ∈ S₆.
     
   • 
     
     (1 2 7) ◦ (1 3 5) ∈ S₇.
     
5. 
   
   Agar σ ∈ S_n o‘rin almashtirish o‘zaro kesishmaydigan sikllar ko‘paymasi ko‘rinishida
   

σ = σ₁ ◦ σ₂ ◦ · · · ◦ σ_k
kabi ifodalangan bo‘lib, ord(σ_i) = n_i, i ∈ {1, 2, . . . , k} bo‘lsa, u holda
ord(σ) = EKUB(n₁, n₂, . . . , n_k)
ekanligini isbotlang.

4. 
   
   (1 2 . . . n − 1 n)⁻¹ = (n n − 1 . . . 2 1) tenglikni isbotlang.
   
5. 
   

   α = (a₁ a₂ . . . a_k) ∈ S_n sikl berilgan bo‘lsin. U holda quyidagi tenglikni isbotlang:

   
   

_{α2 =} (a₁ a₃ . . . a_2m−1) ◦ (a₂ a₄ . . . a_2m), agar k = 2m;
(a₁ a₃ . . . a_2m+1 a₂ a₄ . . . a_2m), agar k = 2m + 1.

4. 
   
   S₄ gruppaning tartibi ikkiga teng bo‘lgan barcha elementlarini toping.
   
5. 
   
   S₄ gruppaning tartibi uchga teng bo‘lgan barcha elementlarini toping.
   
6. 
   
   A₄ gruppaning barcha elementlarini sikllar ko‘paytmasi shaklida yozing.
   

4. 
   
   Ixtiyoriy α, β ∈ S_n o‘rin almashtirishlar uchun α⁻¹◦β⁻¹◦α◦β ∈ A_n ekanligini isbotlang.
   

2
12. |A_n| = ^n!

tenglikni isbotlang.

13. 
    
    S_n simmetrik gruppada uzunligi r ga teng bo‘lgan turli xil sikllar soni ^{1 n!}
    

ga teng bo‘lishini isbotlang.
r (n−r)!

13. 
    
    σ ∈ S_n, n ≥ 2 siklning uzunligi k ga teng bo‘lishi uchun, ord(σ) = k bo‘lishi zarur va yetarli ekanligini isbotlang.
    

3. Qism gruppalar. Siklik gruppalar

Bizga (G, ∗) gruppa va uning bo‘sh bo‘lmagan H ⊂ G qism to‘plami beril- gan bo‘lsin. Agar ∀a, b ∈ H elementlar uchun a ∗ b ∈ H bo‘lsa, u holda H to‘plam ∗ amaliga nisbatan yopiq deb ataladi. Ta’kidlash joizki, G to‘plam gruppa bo‘lganligi uchun H to‘plamda ham assosiativlik sharti bajariladi, ya’ni
∀a, b, c ∈ H elementlar uchun (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c) munosabat o‘rinli. Demak, agar H to‘plam ∗ amaliga nisbatan yopiq bo‘lsa, u holda (H, ∗) yarim gruppa
tashkil qiladi.
1.3.1-ta’rif. Agar H to‘plam G gruppada aniqlangan ∗ amaliga nisbatan gruppa tashkil qilsa, u holda H to‘plam (G, ∗) gruppaning qism gruppasi deyiladi va H ≤ G kabi belgilanadi.
Ta’kidlash joizki, ixtiyoriy gruppaning kamida ikkita H₁ = {e} va H₂ = G qism gruppalari mavjud. Gruppaning birlik elementdan va o‘zidan iborat bo‘lgan qism gruppalaridan farq qiluvchi qism gruppalariga xos qism gruppalar deyiladi. Biz avvalgi mavzularda qaragan juda ko‘p gruppalarimizning biri ikkinchisiga qism gruppa bo‘ladi. Masalan, butun sonlar to‘plamining additiv (qo‘shish ama- liga nisbatan) gruppasi, ratsional sonlar to‘plamining additiv gruppasiga qism qruppa, o‘z navbatida ratsional sonlar haqiqiy sonlarning, haqiqiy sonlar esa kom-
pleks sonlar to‘plamining additiv qism gruppasi bo‘ladi, ya’ni qiyudagilar o‘rinli (Z, +) ≤ (Q, +) ≤ (R, +) ≤ (C, +).
Bundan tashqari sonlar to‘plamlarining multiplikativ(ko‘paytirish amaliga nis- batan) gruppalari uchun ham quyidagilar o‘rinli
(Q \ {0}, ·) ≤ (R \ {0}, ·) ≤ (C \ {0}, ·).
Ma’lumki, n-tartibli teskarilanuvchi matritsalar to‘plami GL_n(C) va determi- nanti 1 ga teng bo‘lgan matritsalar to‘plami SL_n(C) ko‘paytirish amaliga nisbatan

gruppa tashkil qilib, SL_n(C) ≤ GL_n(C). Bundan tashqari GL_n(C) gruppaning qism gruppalari bo‘lgan quyidagi muhim gruppalar mavjud: