O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi mirzo ulug‘bek nomidagi o‘zbekiston milliy universiteti

1.2.3-ta’rif. Agar π ∈ S_n o‘rin almashtirish uchun π(χ) = χ bo‘lsa, u holda π o‘rin almashtirishga juft o‘rin almashtirish, agar π(χ) = −χ bo‘lsa toq o‘rin almashtirish deyiladi.
Quyidagi lemmada ixtiyoriy transpozitsiyaning toq o‘rin almashtirish ekanli- gini ko‘rsatamiz.
1.2.1-lemma. Ixtiyoriy σ ∈ S_n (n ≥ 2) transpozitsiya uchun σ(χ) = −χ bo‘ladi.
Isbot. Aytaylik, σ = (i j), i < j bo‘lsin. U holda χ ifodada ishtirok etuvchi
a_i−a_j ko‘paytuvchi σ(χ) ifodada a_σ(i)−a_σ(j) = a_j−a_i = −(a_i−a_j) kabi qatnashadi.
Endi ko‘pi bilan bittasi i yoki j ga teng bo‘lgan k, l (k < l) sonlari uchun a_k −a_l
ifodani qarab, quyidagi hollarni tahlil qilamiz.

1. 
   
   k, l ∈/ {i, j} bo‘lsin, ya’ni k va l larning har ikkalasi i va j dan farq qilsin,
   

u holda a_σ(k) − a_σ(l) = a_k − a_l bo‘lib, ushbu a_k − a_l ko‘paytuvchi χ va σ(χ)
larning ifodasida o‘z ishorasini o‘zgartirmaydi.

2. 
   
   l = i bo‘lsin, u holda k < i bo‘lib, χ ko‘paytmada a_k − a_i va a_k − a_j
   

ko‘paytuvchilar ishtirok etadi. Ushbu ko‘paytuvchilar σ(χ) ifodada esa (a_σ(k) − a_σ(i))(a_σ(k) − a_σ(j)) = (a_k − a_j)(a_k − a_i)
kabi bo‘lib, (a_k − a_i)(a_k − a_j) ko‘paytmaning ishorasi o‘zgarmaydi.

3. 
   
   l = j bo‘lsin. Agar k < i bo‘lsa, biz yana (a_k − a_i)(a_k − a_j) ko‘rinishidagi ko‘paytmaga ega bo‘lib, yuqorida qaralgan holni hosil qilamiz.
   

Agar i < k < j bo‘lsa, u holda χ ifodada (a_i − a_k)(a_k − a_j) ko‘rinishidagi ko‘paytma qatnashib, σ(χ) da esa
(a_σ(i) − a_σ(k))(a_σ(k) − a_σ(j)) = (a_j − a_k)(a_k − a_i) = (a_i − a_k)(a_k − a_j)
bo‘ladi. Demak, bu holda ham (a_i − a_k)(a_k − a_j) ko‘paytma o‘z ishorasini o‘zgartirmaydi.

4. 
   
   k = j bo‘lsin, u holda l > j bo‘lib, χ ifodada (a_j − a_l)(a_i − a_l) ko‘rinishidagi ko‘paytma qatnashadi. Ushbu ko‘paytmaning σ(χ) dagi ifo- dasi esa, quyidagicha bo‘ladi
   

(a_σ(j) − a_σ(l))(a_σ(i) − a_σ(l)) = (a_i − a_l)(a_j − a_l).
Ya’ni ushbu holda ham (a_j − a_l)(a_i − a_l) ko‘paytmaning ishorasi o‘zgarmaydi.

5. 
   
   k = i bo‘lgan hol esa, i < l < j bo‘lganda 3-holga, j < l bo‘lganda esa 4-holga keltiriladi.
   

Demak, a_i − a_j ko‘paytuvchidan boshqa barcha ko‘paytuvchilar yoki o‘z ishorasini o‘zgartirmaydi yoki ishorasini saqlovchi juftiga ega. Bundan σ(χ) = −χ ekanligi kelib chiqadi.
Yuqoridagi lemmadan π o‘rin almashtirish turli usulda transpozitsiyalar ko‘paytmasi ko‘rinishda yozilgan bo‘lsa, ya’ni
π = σ₁ ◦ σ₂ ◦ · · · ◦ σ_r = τ₁ ◦ τ₂ ◦ · · · ◦ τ_s,
u holda |r − s| soni doim juft son bo‘lishi kelib chiqadi. Ya’ni r va s sonlari bir vaqtda yoki juft yoki toq bo‘ladi. Haqiqatdan ham, σ_i va τ_j transpozitsiyalar uchun σ_i(χ) = −χ va τ_j(χ) = −χ ekanligini hisobga olsak,
π(χ) = (σ₁ ◦ σ₂ ◦ · · · ◦ σ_r)(χ) = σ₁(σ₂(. . . σ_r(χ))) = (−1)^rχ,

π(χ) = (τ₁ ◦ τ₂ ◦ · · · ◦ τ_s)(χ) = τ₁(τ₂(. . . τ_s(χ))) = (−1)^sχ

tengliklarga ega bo‘lamiz. Bundan esa r va s sonlari bir vaqtda yoki juft yoki toq bo‘lishi kelib chiqadi. Demak, π ∈ S_n o‘rin almashtirish juft o‘rin almashtirish bo‘lishi uchun uning juft sondagi transpozitsiyalarning ko‘paytmasi ko‘rinishda yozilishi zarur va yetarli ekan.
Uzunligi k ga teng bo‘lgan π = (1 2 . . . k) siklni π = (1 k)◦(1 k −1)◦· · ·◦(1 2) ko‘rinishda yozish mumkin ekanligidan, uning juft o‘rin almashtirish bo‘lishi uchun k toq son bo‘lishi zarur va yetarli ekanligi kelib chiqadi.
S_n simmetrik gruppaning barcha juft o‘rin almashtirishlari to‘plami A_n kabi belgilanadi.