O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi mirzo ulug‘bek nomidagi o‘zbekiston milliy universiteti

1.3.6-teorema. Siklik gruppaning ixtiyoriy qism gruppasi yana siklik gruppa bo‘ladi.
Isbot. Aytaylik, G = ⟨a⟩ siklik gruppa berilgan bo‘lib, H uning qism gruppasi bo‘lsin. Agar H = {e} bo‘lsa, u holda uning siklik ekanligi ravshan. Aytaylik, H /= {e} bo‘lib, b ∈ H, b /= e bo‘lsin. U holda b = a^m bo‘lib, H qism gruppa bo‘lganligi uchun b⁻¹ = a^−m ∈ H. Bundan esa, H qism gruppa a^k, k > 0 elementni o‘z ichiga olishi kelib chiqadi.
Aytaylik, n soni aⁿ ∈ H munosabat o‘rinli bo‘ladigan eng kichik natural son bo‘lsin. U holda biz H = ⟨aⁿ⟩ ekanligini ko‘rsatamiz. Buning uchun ixtiyoriy h ∈ H elementni aⁿ ning darajasi ko‘rinishida yozilishini ko‘rsatish kifoya. h ∈ G bo‘lganligi uchun shunday k ∈ Z topilib, h = a^k bo‘ladi. k sonini n ga qoldiqli bo‘lsak, k = nq + r, 0 ≤ r < n. U holda, r = k − nq ekanligidan
a^r = a^k−nq = a^k(aⁿ)^−q ∈ H
kelib chiqadi. n soni a elementning darajasi H ga tegishli bo‘ladigan eng kichik natural son bo‘lganligi uchun r = 0 ekanligiga ega bo‘lamiz. Demak, k = nq, ya’ni h = (aⁿ)^q kelib chiqadi. Bu esa, H = ⟨aⁿ⟩ ekanligini anglatadi.
Ma’lumki, Z₄ gruppa to‘rtinchi tartibli siklik gruppa bo‘lib, uning qism grup- palari quyidagilardan iborat
H₁ = {0}, H₂ = {0, 2}, H₃ = Z₄.
Ko‘rinib turibdiki, Z₄ gruppaning barcha qism gruppalari ham siklik. Quyidagi misolda yana bir to‘rtinchi tartibli gruppani keltiramiz.
1.3.2-misol. Aytaylik, bizga G = {e, a, b, c} to‘plam berilgan bo‘lib, bu to‘plamda
∗ binar amal quyidagicha aniqlangan bo‘lsin:
e ∗ a = a ∗ e = a, e ∗ b = b ∗ e = b, e ∗ c = c ∗ e = c, e ∗ e = a ∗ a = b ∗ b = c ∗ c = e,
a ∗ b = b ∗ a = c, a ∗ c = c ∗ a = b, b ∗ c = c ∗ b = a.
U holda (G, ∗) kommutativ gruppa bo‘lib, ushbu gruppa uchun
⟨e⟩ = {e}, ⟨a⟩ = {e, a}, ⟨b⟩ = {e, b}, ⟨c⟩ = {e, c}
munosabatlar o‘rinli. Ko‘rinib turibdiki, bu gruppa siklik emas. Ushbu gruppa
4-tartibli Kleyn gruppasi deb atalib, K₄ kabi belgilanadi.
1.3.3-misol. G gruppaning H qism gruppasi uchun gHg⁻¹ = {ghg⁻¹ | h ∈ H}
to‘plam qism gruppa bo‘lishini va |gHg⁻¹| = |H| ekanligini ko‘rsating.


Yechish. Dastlab, gHg⁻¹ to‘plam G gruppaning qism gruppasi bo‘lishini ko‘rsatamiz. e = geg⁻¹ ∈ gHg⁻¹ ekanligidan bu to‘plamning bo‘sh emasligi kelib chiqadi. Ixtiyoriy gh₁g⁻¹, gh₂g⁻¹ ∈ gHg⁻¹ elementlar uchun
gh₁g⁻¹(gh₂g⁻¹)⁻¹ = gh₁g⁻¹gh⁻₂ ¹g⁻¹ = gh₁h₂⁻¹g⁻¹ ∈ gHg⁻¹.
Bundan esa, gHg⁻¹ to‘plamning qism gruppa ekanligi kelib chiqadi.

−1
Endi |gHg⁻¹| = |H| tenglikni ko‘rsatamiz. Buning uchun f : H → gHg⁻¹, f (h) = ghg akslantirishni aniqlaymiz. Ushbu akslantirish inyektiv bo‘ladi, chunki f (h) = f (h^′) ekanligidan ghg⁻¹ = gh^′g⁻¹ munosabatni, bundan esa h = h^′ tenglikni hosil qilamiz. Bu akslantirishning syurektivligi esa ixtiyoriy a = ghg⁻¹ element uchun f (h) = a ekanligidan kelib chiqadi. Demak, f akslantirish o‘zaro bir qiymatli. Bundan esa, |gHg⁻¹| = |H| kelib chiqadi. Q