O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi mirzo ulug‘bek nomidagi o‘zbekiston milliy universiteti

1.3.3-ta’rif. Aytaylik, (G, ∗) gruppa va M uning qism to‘plami bo‘lsin. G gruppa- ning M to‘plamni o‘z ichiga oluvchi barcha qism gruppalari kesishmasi M to‘plam orqali hosil qilingan qism gruppa deyiladi va ⟨M ⟩ kabi belgilanadi.
1.3.4-teorema. G gruppaning M qism to‘plami orqali hosil qilingan qism grup- pasi uchun quyidagi tenglik o‘rinli

1

2

n
⟨M ⟩ = {a^ε1 ∗ a^ε2 ∗ · · · ∗ a^εn |a₁, a₂, . . . , a_n ∈ M, ε_i = ±1, n = 1, 2, . . . }.


Isbot. Teoremadagi tenglikning o‘ng tominini H orqali belgilab olaylik. Ma’lumki, n = 1 va ε₁ = 1 bo‘lgan holda a₁ ∈ H, ya’ni M to‘plamning ixti- yoriy elementi H ga tegishli ekanligi kelib chiqadi. Bundan tashqari, ∀h, g ∈ H

1

2

n

1

2

k
uchun h = a^ε1 ∗ a^ε2 ∗ · · · ∗ a^εn va g = b^ϵ1 ∗ b^ϵ2 ∗ · · · ∗ b^ϵk bo‘lib,

1

2

n

k

2

1

h ∗ g⁻¹ = a^ε1 ∗ a^ε2 ∗ · · · ∗ a^εn ∗ b^−ϵk ∗ · · · ∗ b^−ϵ2 ∗ b^−ϵ1 ∈ H.
Demak, H to‘plam qism gruppa bo‘lib, M ni o‘z ichiga oladi. Bu esa ⟨M ⟩ ⊂ H

ekanligini anglatadi.
Ikkinchi tomondan esa barcha a_i elementlar ⟨M ⟩ qism gruppada yotganligi

1

2

n
uchun, a^ε1 ∗ a^ε2 ∗ · · · ∗ a^εn ko‘rinishidagi barcha elementlar ⟨M ⟩ da yotadi. Bundan
esa, H ⊂ ⟨M ⟩ kelib chiqadi. Demak, ⟨M ⟩ = H.
Agar M to‘plam bitta elementdan iborat to‘plam, ya’ni M = {a} bo‘lsa, u holda ⟨{a}⟩ o‘rniga ⟨a⟩ belgilashdan foydalanish qabul qilingan.
1.3.2-natija. G gruppaning ixtiyoriy a elementi uchun ⟨a⟩ = {aⁿ | n ∈ Z} bo‘ladi.
Agar G = ⟨M ⟩ tenglik o‘rinli bo‘lsa, u holda M to‘plam G gruppaning hosil qiluvchi to‘plami deyiladi, M to‘plamning elementlari esa G gruppaning hosil qiluvchi elementlari deb ataladi.