O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi mirzo ulug‘bek nomidagi o‘zbekiston milliy universiteti

1.3.4-ta’rif. Agar G gruppada G = ⟨a⟩ tenglikni qanoatlantiruvchi a ∈ G element mavjud bo‘lsa, u holda G gruppa siklik gruppa deyiladi.

⟨ ⟩
Ta’kidlash joizki, har qanday siklik gruppa kommutativ gruppa bo‘ladi. Haqiqatan ham, G = a siklik gruppaning ixtiyoriy b va c elementlari uchun shunday butun n va m sonlar topilib, b = aⁿ va c = a^m tengliklar o‘rinli. Ushbu b ∗ c = aⁿ ∗ a^m = a^n+m = a^m ∗ aⁿ = c ∗ b tenglikdan b va c elementlar o‘zaro o‘rin almashinuvchi ekanligi kelib chiqadi. O‘z navbatida b va c elementlarning ixtiyoriy ekanligidan G gruppaning kommutativligiga ega bo‘lamiz.

1.3.1-misol.

• 
  
  Qo‘shishga nisbatan butun sonlar gruppasi (Z, +) siklik gruppa bo‘ladi, ya’ni
  

Z = ⟨1⟩.

• 
  
  Qo‘shishga nisbatan chegirmalar gruppasi (Z_n, +) ham siklik gruppa bo‘ladi, ya’ni Z_n = ⟨1⟩.
  

Quyidagi teorema chekli siklik gruppalarning aniq tasnifini ifodalaydi.
1.3.5-teorema. Agar G tartibi n ga teng bo‘lgan siklik gruppa bo‘lsa, u holda
G = ⟨a⟩ = {e, a, a², . . . , aⁿ⁻¹}.
Isbot. G siklik gruppa bo‘lganligi uchun G = ⟨a⟩ bo‘lib, 1.3.2-natijaga ko‘ra
⟨a⟩ = {aⁱ | i ∈ Z} kelib chiqadi. Suningdek, ⟨a⟩ chekli bo‘lganligi uchun shunday i, j (j > i) butun sonlar topilib, aⁱ = a^j bo‘ladi. Natijada a^j−i = e, j − i > 0 tenglikka ega bo‘lamiz. Endi T := {k ∈ N | a^k = e} to‘plamning eng kichik elementini m bilan belgilaymiz. U holda S := {e, a, a², . . . , a^m−1} to‘plamning barcha elementlari turli bo‘ladi. Darhaqiqat, agar a^s = a^t, 0 ≤ s < t < m, bo‘lsa, u holda a^t−s = e, 0 < t − s < m bo‘lib, m soni T to‘plamning eng kichik elementi ekanligiga zidddiyat kelib chiqadi.
Shuningdek S ⊆ ⟨a⟩ ekanligi ma’lum. Endi ⟨a⟩ ⊆ S munosabat o‘rinli ekan-
ligini ko‘rsatamiz. Buning uchun a ning ixtiyoriy darajasi S to‘plamga tegishli ekanini ko‘rsatish kifoya. Ixtiyoriy a^k ∈ ⟨a⟩, k ∈ Z uchun, qoldiqli bo‘lish qoidasiga ko‘ra k sonini k = qm + r, 0 ≤ r < m ko‘rinishda yozib olsak:
a^k = a^qm+r = (a^m)^q ∗ a^r = e ∗ a^r = a^r ∈ S.
Bundan esa, ⟨a⟩ ⊆ S kelib chiqadi. Shunday qilib, S = ⟨a⟩ va S ning ele- mentlari turli, hamda ⟨a⟩ gruppaning tartibi n ga teng ekanligidan m = n kelib chiqadi.
Yuqoridagi teoremadan quyidagi natijaga ega bo‘lamiz.
1.3.3-natija. G gruppa siklik bo‘lishi uchun shunday a ∈ G element topilib, ord(a) = |G| bo‘lishi zarur va yetarli.
Quyidagi teoremada siklik gruppaning ixtiyoriy qism gruppasi yana siklik gruppa bo‘lishini ko‘rsatamiz.