O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi mirzo ulug‘bek nomidagi o‘zbekiston milliy universiteti

1.4.6-teorema. G gruppaning H va K qism gruppalari ko‘paytmasi HK to‘plam qism gruppa bo‘lishi uchun HK = KH bo‘lishi zarur va yetarli.
Isbot. Zaruriylik. Aytaylik, HK to‘plam G gruppaning qism gruppasi bo‘lsin. Ixtiyoriy y ∈ KH elementni olsak, bu element y = k ∗ h, k ∈ K, h ∈ H ko‘rinishida yoziladi. O‘z navbatida k = e ∗ k va h = h ∗ e ekanligidan, hamda e birlik element H va K qism gruppalarning har ikkalasida yotganligidan foydalanib, k, h ∈ HK ekanligini hosil qilamiz. HK qism gruppa bo‘lganligi uchun k∗h ∈ HK bo‘ladi. Demak, ixtiyoriy y ∈ KH uchun y ∈ HK kelib chiqdi, ya’ni KH ⊆ HK. Endi bu minosabatning ikkinchi tomonini ko‘rsatamiz. Ixtiyoriy z ∈ HK element uchun HK to‘plam qism gruppa bo‘lganligidan z⁻¹ ∈ HK, ya’ni z⁻¹ =

h₁ ∗ k₁ kelib chiqadi. Demak, z = (z⁻¹)⁻¹ = (h₁ ∗ k₁)⁻¹ = k₁⁻¹h₁⁻¹ HK ⊆ KH. Bulardan esa, HK = KH ekanligini hosil qilamiz.
∈ KH, ya’ni

Yetarlilik. Aytaylik, HK = KH bo‘lsin. Ixtiyoriy x, y ∈ HK elementlarni olamiz. U holda x = h₁ ∗ k₁ va y = h₂ ∗ k₂, bu yerda h₁, h₂ ∈ H, k₁, k₂ ∈ K. HK = KH tenglikdan foydalangan holda, quyidagi munosabatga ega bo‘lamiz:
x ∗ y⁻¹ = h₁ ∗ k₁ ∗ (h₂ ∗ k₂)⁻¹ = (h₁ ∗ k₁) ∗ (k₂⁻¹ ∗ h₂⁻¹) = (h₁ ∗ k₁) ∗ (h₃ ∗ k₃) =
h₁ ∗ (k₁ ∗ h₃) ∗ k₃ = h₁ ∗ (h₄ ∗ k₄) ∗ k₃ = (h₁ ∗ h₄) ∗ (k₄ ∗ k₃) ∈ HK.
Bundan esa, HK to‘plamning qism gruppa ekanligi kelib chiqadi.
Endi qism gruppalarning ko‘paytmasi HK qism gruppa bo‘lishi uchun yana bir zaruriy va yetarlilik shartni keltiramiz. Bu shart berilgan qism gruppalarning birlashmasi orqali beriladi.