O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi mirzo ulug‘bek nomidagi o‘zbekiston milliy universiteti

1.6.2-ta’rif. G gruppaning barcha kommutatorlaridan hosil qilingan qism grup- paga kommutant deb ataladi va [G, G] kabi belgilanadi. Ya’ni
[G, G] = ⟨[a, b] | a, b ∈ G⟩.
Gruppaning A va B qism gruppalari uchun ham kommutant tushunchasini aniqlash mumkin, ya‘ni [A, B] = ⟨[a, b] | a ∈ A, b ∈ B⟩.
1.6.3-tasdiq. Gruppaning kommutanti normal qism gruppa bo‘ladi, ya’ni
[G, G] a G.
Isbot. [a, b]⁻¹ = [b, a] tenglikdan [G, G] to‘plamning ixtiyoriy elementi chekli sondagi kommutantlarning ko‘paytmasidan iborat ekanligi kelib chiqadi. U holda

g⁻¹(ab)g = (g⁻¹ag)(g⁻¹bg) va g⁻¹[a, b]g = [g⁻¹ag, g⁻¹bg] tengliklardan foydalanib, ixtiyoriy x = [a₁, b₁][a₂, b₂] . . . [a_k, b_k] ∈ [G, G] element uchun

g⁻¹xg = g⁻¹[a₁, b₁][a₂, b₂] . . . [a_k, b_k]g = (g⁻¹[a₁, b₁]g)(g⁻¹[a₂, b₂]g) . . . (g⁻¹[a_k, b_k]g)
= [g⁻¹a₁g, g⁻¹b₁g][g⁻¹a₂g, g⁻¹b₂g] . . . [g⁻¹a_kg, g⁻¹b_kg] ekanligiga ega bo‘lamiz. Demak, g⁻¹xg ∈ [G, G] ya’ni [G, G] a G.
1.6.1-misol. Agar A a G va B a G bo‘lsa, u holda [A, B] a G va [A, B] ⊆ A ∩ B
ekanligini isbotlang.
Yechish. g⁻¹[a, b]g = [g⁻¹ag, g⁻¹bg] xossadan [A, B] a G kelib chiqadi.
A a G ekanligidan [a, b] = aba⁻¹b⁻¹ = a(ba⁻¹b⁻¹) ∈ A kelib chiqadi. Xuddi shunday [a, b] = aba⁻¹b⁻¹ = (aba⁻¹)b⁻¹ ∈ B bo‘lishini hosil qilamiz. Demak, [A, B] ⊆ A ∩ B. Q

1. Mustaqil ishlash uchun misol va masalalar

   1. 
      
      S₄ gruppaning quyidagi elementlari uchun C(a) sentralizatorni aniqlang:
      

a = (1 2), a = (1 2) ◦ (3 4), a = (1 2 3 4).

2. 
   
   Quyidagi gruppalarning markazlarini toping:
   

S₃, A₄, S₄, GL_n(R), SL_n(R).

3. 
   
   Z(S_n) = {e} ekanligini isbotlang.
   
4. 
   
   Agar G/Z(G) faktor gruppa siklik bo‘lsa, u holda G gruppaning kommutativ ekanligini isbotlang.
   
5. 
   
   Agar H a G va |H| = 2 bo‘lsa, u holda H ⊆ Z(G) bo‘lishini isbotlang.
   
6. 
   
   Quyidagilarni isbotlang:
   
   • 
     
     [S₂, S₂] = {e}.
     
   • 
     
     [A₃, A₃] = {e}.
     
   • 
     
     [A₄, A₄] = {e, (1 2) ◦ (3 4), (1 4) ◦ (3 2), (1 3) ◦ (2 4)}.
     
   • 
     
     [S_n, S_n] = A_n.
     
   • 
     
     [A_n, A_n] = A_n, n ≥ 5;
     
   • 
     
     [GL_n(R), GL_n(R)] = SL_n(R).
     
   • 
     
     [SL_n(R), SL_n(R)] = SL_n(R).
     
7. 
   
   S₃ gruppaning barcha elementlari uchun [[x, y], z] = e tenglik bajariladimi?
   
8. 
   
   Agar gruppada [[x, y], z] = e ayniyat bajarilsa, u holda [x, yz] = [x, y][x, z] va [xy, z] = [x, z][y, z] ayniyatlar o‘rinli ekanligini isbotlang.