O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi mirzo ulug‘bek nomidagi o‘zbekiston milliy universiteti

Isbot. Zaruriylik. Aytaylik, H a G bo‘lsin. Ixtiyoriy x ∈ aHa⁻¹ element olsak, bu element x = a ∗ h ∗ a⁻¹ kabi yoziladi. a ∗ h ∈ aH = Ha bo‘lganligi uchun, shunday h₁ ∈ H element mavjudki, a ∗ h = h₁ ∗ a tenglik o‘rinli bo‘ladi. Bundan esa, a ∗ h ∗ a⁻¹ = h₁ ∈ H, ya’ni aHa⁻¹ ⊆ H kelib chiqadi.
Yetarlilik. Aytaylik, ixtiyoriy a ∈ G uchun aHa⁻¹ ⊆ H munosabat o‘rinli bo‘lsin. Ixtiyoriy x = a ∗ h ∈ aH element uchun x ∗ a⁻¹ = a ∗ h ∗ a⁻¹ ∈ aHa⁻¹ ⊂ H bo‘lganligi uchun x ∗ a⁻¹ ∈ H kelib chiqadi. Ya’ni, x ∗ a⁻¹ = h₁ ∈ H, u holda x = h₁ ∗ a ∈ Ha. Bu esa, aH ⊆ Ha ekanligini anglatadi. Xuddi shunga o‘xshab, a element o‘rniga a⁻¹ elementni qo‘yish orqali Ha ⊆ aH munosabatga ega bo‘lish mumkin. Demak, aH = Ha, ya’ni H a G.
Quyidagi teorema orqali normal qism gruppalarni muhim xossalari keltiramiz.
1.5.2-teorema. G gruppaning H va K normal qism gruppalari uchun quyidagilar o‘rinli:

1. 
   
   H ∩ K ham G gruppaning normal qism gruppasi bo‘ladi.
   
2. 
   
   HK = KH bo‘lib, HK ham G gruppaning normal qism gruppasi bo‘ladi.
   

3) ⟨H ∪ K⟩ = HK.
Isbot. 1) Gruppaning ixtiyoriy ikkita qism gruppasining keshishmasi yana qism gruppa bo‘lishidan H ∩ K ham G gruppaning qism gruppasi bo‘lishi kelib chiqadi. Endi uning normal qism gruppa ekanligini ko‘rsatamiz. Buning uchun ixtiyoriy g ∈ G element uchun g(H ∩ K)g⁻¹ ⊆ H ∩ K bo‘lishini ko‘rsatish kifoya. Ma’lumki, g(H ∩ K)g⁻¹ to‘plamning ixtiyoriy elementi g ∗ a ∗ g⁻¹, a ∈ H ∩ K ko‘rinishida bo‘ladi. a ∈ H ∩ K ekanligidan g ∗ a ∗ g⁻¹ ∈ H va g ∗ a ∗ g⁻¹ ∈ K munosabatlarga ega bo‘lamiz. Demak, g ∗ a ∗ g⁻¹ ∈ H ∩ K ya’ni g(H ∩ K)g⁻¹ ⊆ H ∩ K.

2. 
   
   Dastlab, HK = KH tenglikni isbotlaymiz. Ixtiyoriy h ∗ k ∈ HK elementni tanlab olaylik, bu yerda h ∈ H va k ∈ K. U holda K a G ekanligidan hK = Kh, demak ∃ k₁ ∈ K element mavjudki, h ∗ k = k₁ ∗ h ∈ KH, ya’ni HK ⊆ KH. Shu usul bilan KH ⊆ HK munosabat ham o‘rinli bo‘lishini ko‘rsatish qiyin emas. Demak, HK = KH, u holda 1.4.6-teoremadan HK to‘plam G gruppaning qism gruppasi ekanligi kelib chiqadi. Endi HK a G ekanligini ko‘rsatamiz. H va K normal qism gruppalar bo‘lganligi uchun ixtiyoriy g ∈ G element uchun gHg⁻¹ ⊆ H va gKg⁻¹ ⊆ K munosabatlar o‘rinli. Natijada,
   

g(HK)g⁻¹ = g(Hg⁻¹gK)g⁻¹ = (gHg⁻¹)(gKg⁻¹) ⊆ HK.
Demak, 1.5.1-teoremaga ko‘ra HK a G.

2. 
   
   Ushbu teoremaning 2-qismidan ma’lumki HK ≤ G. U holda 1.4.7-teore- madan HK = ⟨H ∪ K⟩ tenglikka ega bo‘lamiz.
   

Biz avvalgi paragrafda G gruppaning biror H qism gruppasining barcha chap qo‘shni sinflari oilasini L_H, barcha o‘ng qo‘shni sinflari oilasini esa R_H kabi belgilagan edik. Normal qism gruppaning chap va o‘ng go‘shni sinflari ustma- ust tushib, biz ushbu (chap yoki o‘ng) qo‘shni sinflar oilasini G/H kabi belgi- laymiz. Endi ushbu G/H to‘plamda ixtiyoriy aH, bH ∈ G/H elementlar uchun aH ∗ bH = (a ∗ b)H ko‘rinishida binar amal aniqlaymiz.