O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi mirzo ulug‘bek nomidagi o‘zbekiston milliy universiteti

1.2.1-natija. (S_n, ◦), n ≥ 2 gruppadagi ixtiyoriy π o‘rin almashtirishni transpo- zitsiyalar ko‘paytmasi ko‘rinishida ifodalash mumkin.
Isbot. 1.2.1-teoremaga ko‘ra ixtiyoriy o‘rin almashtirish sikllar ko‘paytmasi ko‘rinishisa yoziladi. Demak, natijani isbotlash uchun uzunligi k ga teng bo‘lgan
ixtiyoriy siklni transpozitsiyalar ko‘paytmasi ko‘rinishida yozish mumkinligini is- botlash yetarli. k = 1 bo‘lsa, u holda (i) = e bo‘lib, e = (1) = (1 2) ◦(1 2) bo‘ladi.

Agar k ≥ 2 bo‘lsa, u holda

(i₁ i₂ . . . i_k) = (i₁ i_k) ◦ (i₁ i_k−1) ◦ · · · ◦ (i₁, i₂)
tenglikdan ixtiyoriy siklni transpozitsiyalar ko‘paytmasi ko‘rinishida yozish mumkinligi kelib chiqadi.
1.2.1-natijada biz ixtiyoriy o‘rin almashtirishni transpozitsiyalar ko‘paytmasi ko‘rinishida ifodalash mumkin ekanligini isbotladik. Ammo, o‘rin almashtirish- ning bunday ifodasi yagona emas. Masalan, (1 2 3) siklni
(1 2 3) = (1 3) ◦ (1 2) = (1 2) ◦ (2 3)
ifodalaridan tashqari (1 2 3) = (1 2)◦(1 3)◦(2 3)◦(1 2) kabi ham ifodalash mumkin. Ya’ni bunday yoyilmalarda transpozitsiyalar farq qilishi bilan birga ularning soni ham turli bo‘lishi mumkin.
Quyida biz biror o‘rin almashtirishni turli xil ko‘rinishda transpozitsiyalar ko‘paytmalari shaklida ifodalangan bo‘lsa, bunda barcha ifodalardagi transpo- zitsiyalar soni yoki juft yoki toq bo‘lishini ko‘rsatamiz.

Y
Buning uchun dastlab quyidagi belgilash va tushunchalarni kiritib olamiz. Bizga a₁, a₂, . . . , a_n sonlar berilgan bo‘lsin. χ orqali quyidagi ko‘paytmani bel- gilaymiz:

χ =
1≤i≤n

Y
Ixtiyoriy π o‘rin almashtirish uchun

(a_i − a_j).

bo‘lsin.

π(χ) =
1≤i≤n
^(aπ(i) ^{− a}π(j)⁾