O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi mirzo ulug‘bek nomidagi o‘zbekiston milliy universiteti



Yüklə 0,92 Mb.
səhifə8/178
tarix25.12.2023
ölçüsü0,92 Mb.
#194299
1   ...   4   5   6   7   8   9   10   11   ...   178
Abstrakt algebra-fayllar.org

1.1.6-misol. Zn = {0, 1, . . . , n − 1} chegirmalar sinfi uchun quyidagilar o‘rinli:
      • (Zn, +n) kommutativ gruppa tashkil qiladi.


      • (Zn, ·n) monoid tashkil qiladi, lekin gruppa bo‘lmaydi.




1.1.7-misol. (Zn, ·n) monoidning barcha teskarilanuvchi elementlari to‘plami
Un = {a ∈ Zn \ {0} | (a, n) = 1}
ko‘rinishida bo‘lib, bu to‘plam ko‘paytirish amaliga nisbatan gruppa tashkil qiladi. Ya’ni (Un, ·n) kommutativ gruppa.
Endi gruppaning ba’zi sodda xossalarini o‘z ichiga olgan qiyudagi tasdiqni keltiramiz.
1.1.1-tasdiq. Ixtiyoriy (G, ∗) gruppa uchun quyidagilar o‘rinli:


  1. Gruppaning birlik elementi yagona.


  2. Ixtiyoriy aG element uchun yagona teskari element mavjud.


  3. Ixtiyoriy aG element uchun (a−1)−1 = a.


  4. Ixtiyoriy a, bG elementlar uchun (ab)−1 = b−1a−1.


Isbot. 1) Faraz qilaylik (G, ∗) gruppada ikkita e1 va e2 birlik elementlar mavjud bo‘lsin. U holda e1e2 ko‘paytmani qarasak, e1 element birlik element bo‘lganligi uchun e1e2 = e2. Ikkinchi tomondan esa, e2 element birlik element bo‘lganligi uchun e1e2 = e1. Demak, e1 = e2.
    1. Faraz qilaylik a G element uchun ikkita teskari element mavjud bo‘lsin, ya’ni shunday b, cG elementlar mavjud bo‘lib,




ab = ba = e, ac = ca = e
bo‘lsin. Quyidagi tengliklardan b va c elementlarning tengligini hosil qilamiz:
b = be = b ∗ (ac) = (ba) ∗ c = ec = c.
Demak, a elementga teskari element yagona.


    1. aG elementning teskarisi a−1 bo‘lganligi uchun


aa−1 = a−1a = e.
Faraz qilaylik, bG element a−1 ga teskari element bo‘lsin. U holda
ba−1 = a−1b = e.
Bu tengliklardan biz a va b elementlar a−1 ga teskari element ekanligini hosil qil- amiz. 2)-xossaga ko‘ra ixtiyoriy elementning teskari elementi yagona bo‘lganligi uchun b = a ekanligi kelib chiqadi. b element a−1 ning teskarisi ekanligidan (a−1)−1 = a bo‘ladi.
    1. Bizga a, bG elementlar berilgan bo‘lib, a−1 va b−1 elementlar ularning


teskari elementlari bo‘lsin, ya’ni


a a−1 = a−1a = e, bb−1 = b−1b = e.
Quyidagi tengliklarni qaraymiz
(ab) ∗ (b−1a−1) = (a ∗ (bb−1)) ∗ a−1 = (ae) ∗ a−1 = aa−1 = e.
(b−1a−1) ∗ (ab) = (b−1 ∗ (a−1a)) ∗ b = (b−1e) ∗ b = b−1b = e.
Ushbu tengliklardan a b elementning teskarisi b−1a−1 ekanligi kelib chiqadi, ya’ni
(ab)−1 = b−1a−1.
Endi gruppaning tartibi va gruppa elementi tartibi tushunchalarini kiritamiz.

1.1.4-ta’rif. Agar G gruppaning elementlari soni chekli bo‘lsa, u holda G gruppa chekli gruppa deyiladi. Chekli gruppaning elementlari soni uning tartibi deyi- ladi va |G| kabi belgilanadi. Elementlari cheksiz ko‘p bo‘lgan gruppalar cheksiz gruppalar deyiladi.
Bizga (G, ∗) gruppa va uning a G elementi berilgan bo‘lsin. Ushbu element- ning darajalarini quyidagicha aniqlaymiz:

a0 = e,
an = an−1a, n ≥ 1, an = (a−1)n, n < 0.


Ta’kidlash joizki, ixtiyoriy k, s butun sonlar uchun ak as = ak+s tenglik o‘rinli. Agar qandaydir k, s (k > s) butun sonlar uchun ak = as, tenglik o‘rinli bo‘lsa, u holda aks = e munosabatga ega bo‘lamiz.


1.1.5-ta’rif. G gruppaning a G elementi uchun an = e shartni qanoatlantiruv- chi natural sonlarning eng kichigiga berilgan elementning tartibi deb ataladi. Agar an = e shartni qanoatlantiruvchi natural son mavjud bo‘lmasa, u holda bu elementning tartibi cheksizga teng deb ataladi. Berilgan a G elementning tartibi ord(a) kabi belgilanadi.
1.1.8-misol. (Z6, +6) gruppani qarasak, bu gruppaning tartibi 6 ga teng, ya’ni
|Z6| = 6 hamda
ord(0) = 1, ord(1) = 6, ord(2) = 3, ord(3) = 2, ord(4) = 3, ord(5) = 6.
1.1.9-misol. M = {1, i, −1, i} to‘plam ko‘paytirish amaliga nisbatan gruppa tashkil qilib,
ord(1) = 1, ord(i) = 4, ord(−1) = 2, ord(−i) = 4.

Gruppada assosiativlik xossasi o‘rinli bo‘lganligi uchun, a1, a2, . . . , an element- larni ko‘paytirishda qavslarning qo‘yilishi ahamiyatli emas, shuning uchun odatda chapdan qo‘yilgan qavslar ishlatilib, ko‘paytma (. . . ((a1a2) ∗ a3 . . . ) ∗ an) kabi yoziladi.


Bundan tashqari gruppalar uchun quyidagi xossalar ham o‘rinli bo‘lib, biz ularni isbotsiz keltirib o‘tamiz.
1.1.2-tasdiq. (G, ∗) gruppadagi ixtiyoriy a, b, cG elementlar uchun quyidagilar o‘rinli:


  1. ax = b tenglama yagona yechimga ega bo‘lib, x = a−1b bo‘ladi.


  2. xa = b tenglama yagona yechimga ega bo‘lib, x = ba−1 bo‘ladi.


  3. ab = ac yoki ba = ca tenglikdan b = c kelib chiqadi.


  4. agar a2 = a bo‘lsa, u holda a = e bo‘ladi.

Quyidagi teoremada gruppaning elementi tartibi bilan bo‘g‘liq bo‘lgan asosiy xossalarni keltiramiz.



1.1.1-teorema. Aytaylik, G gruppaning aG elementi uchun ord(a) = n bo‘lsin, u holda quyidagilar o‘rinli:


  1. Agar qandaydir m natural son uchun am = e bo‘lsa, u holda m soni n ga bo‘linadi.

  2. EKUB(t,n)


    Ixtiyoriy t natural son uchun ord(at) = n .


Isbot. 1) Aytaylik, m = qn + r bo‘lsin, bu yerda 0 ≤ r < n. U holda
ar = amqn = amaqn = am ∗ (an)q = e.
Berilgan elementning tartibi n ga teng bo‘lganligi uchun n soni an = e shartni qanoatlantiruvchi eng kichik natural son. ar = 0 va 0 ≤ r < n ekanligidan esa, r = 0 kelib chiqadi, ya’ni m soni n ga qoldiqsiz bo‘linadi.

d
2) Aytaylik, ord(at) = k bo‘lsin, u holda atk = (at)k = e. Demak, tk soni n ga bo‘linadi, ya’ni tk = nr. Agar EKUB(t, n) = d bo‘lsa, u holda t = du, n = dv, EKUB(u, v) = 1 bo‘lib, tk = nr ekanligidan duk = dvr tenglikka, bundan esa uk = vr munosabatga ega bo‘lamiz. Bu esa, uk soni v soniga bo‘linishini anglatadi. Bundan esa, EKUB(u, v) = 1 ekanligini hisobga olsak, k soni v = n
soniga bo‘linishi kelib chiqadi.
n
Endi (at) d elementni qaraymiz:


t n nt
ndu nu

(a ) d = a d = a


d = a
= e.






d
Bu tenglikdan, ord(at) = k ekanligini hisobga olgan holda, n
soni k ga

bo‘linishini keltirib chiqaramiz. Demak, k = n, ya’ni ord(at) = n .


d EKUB(t,n)
Yuqoridagi teoremaning isbotidan osongina ko‘rish mumkinki, agar a element-
ning tartibi n ga teng bo‘lsa, u holda
e, a, a2, . . . an−1
elementlar turli bo‘lib, ixtiyoriy m butun son uchun am element ulardan biriga teng bo‘ladi.

1+ab


1.1.10-misol. G = (−1; 1) intervaldan iborat bo‘lgan to‘plamning a b = a+b
amalga nisbatan gruppa tashkil qilishini isbotlang.

2 2
Yechish. Dastlab ushbu amal haqiqatdan ham binar amal bo‘lishini tekshi- ramiz, ya’ni a, b G ekanligidan a b G kelib chiqishini ko‘rsatamiz. Buning uchun a < 1, b < 1 ekanligidan foydalanib, quyidagiga ega bo‘lamiz:


(1 − a2)(1 − b2) > 0,

1 − a2b2 + a2b2 > 0,



a2 + b2 < 1 + a2b2,
a2 + 2ab + b2 < 1 + 2ab + a2b2,
(a + b)2 < (1 + ab)2,

.. ..


a + b
1 + ab < 1.
Demak, haqiqatdan ham abG bo‘ladi. Quyidagi



a + b
a+b + c
a + b + c + abc

(ab) ∗ c =


va

1 + ab


c =
1+ab

1 + c


a+b
1+ab
,

=
1 + ab + ac + bc





a ∗ (bc) = a
b + c
=
1 + bc
b+c

1 + a



a +
1+bc b+c 1+bc
a + b + c + abc
=
1 + ab + ac + bc

tengliklardan assosiativlik xossasining o‘rinli ekanligi kelib chiqadi. Ushbu algeb- raik sistemada birlik element vasifasini e = 0 bajarib, ixtiyoriy aG elementning teskarisi esa −a bo‘ladi. Demak, (G, ∗) gruppa bo‘ladi. Q


1.1.11-misol. Tartibi juft songa teng bo‘lgan gruppada a2 = e shartni qanoat-
lantiruvchi a e element mavjud ekanligini ko‘rsating.


Yechish. Bizga G gruppa beringan bo‘lib, |G| = 2n bo‘lsin. Ma’lumki, agar qandaydir aG element uchun a−1 = a bo‘lsa, u holda a2 = e bo‘ladi.
A = {g G | g−1 /= g} to‘plamni qaraymiz. Ma’lumki, e / A bo‘lib, A
to‘plamda yotuvchi biror elementning teskarisi ham shu to‘plamda yotadi. Demak, A to‘plamning elementlari soni juft son bo‘lib, A =/ G. Bundan esa, A to‘plamda yotmaydigan birlik elementdan farqli, aG element mavjudligi kelib chiqadi,
ya’ni a e, a−1 = a. Demak, a2 = e. Q


Yüklə 0,92 Mb.

Dostları ilə paylaş:
1   ...   4   5   6   7   8   9   10   11   ...   178




Verilənlər bazası müəlliflik hüququ ilə müdafiə olunur ©azkurs.org 2024
rəhbərliyinə müraciət

gir | qeydiyyatdan keç
    Ana səhifə


yükləyin