O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi mirzo ulug‘bek nomidagi o‘zbekiston milliy universiteti

1.1.2-misol.

• (N, +), (N, ·), (Z, ·) algebraik sistemalar yarim gruppa bo‘ladi.

  
  
• 
  
  A to‘plamda olingan ixtiyoriy x, y elementlar uchun ∗ amali x ∗ y = x
  

ko‘rinishda aniqlangan bo‘lsa, (A, ∗) algebraik sistema yarim gruppa bo‘ladi.
1.1.2-ta’rif. Agar (M, ∗) yarim gruppada shunday e ∈ M element mavjud bo‘lib, ixtiyoriy a ∈ M element uchun


e ∗ a = a ∗ e = a
tenglik bajarilsa, u holda (M, ∗) yarim gruppaga monoid deyiladi. Ushbu e ele- mentga esa birlik element deb ataladi.

1.1.3-misol.

• (Z, ·), (N, ·), (Z, +) algebraik sistemalar monoid tashkil qiladi.

  
  

• (M_n(R), +) – elementlari haqiqiy sonlardan iborat bo‘lgan n-tartibli kvadrat matritsalar to‘plami, matritsalarni qo‘shish amaliga nisbatan monoid tashkil qiladi.

  
  

• (M_n(R), ·) – elementlari haqiqiy sonlardan iborat bo‘lgan n-tartibli kvadrat matritsalar to‘plami, matritsalarni ko‘paytirish amaliga nisbatan monoid tashkil qiladi.

  
  

Endi asosiy tushuncha hisoblangan gruppaning ta’rifini keltiramiz.

1.1.3-ta’rif. Agar (G, ∗) monoid berilgan bo‘lib, ixtiyoriy a ∈ G element uchun
a⁻¹ ∗ a = a ∗ a⁻¹ = e

∈ ∗
tenglikni qanoatlantiruvchi a⁻¹ G element mavjud bo‘lsa, u holda (G, ) algeb- raik sistemaga gruppa deyiladi. a⁻¹ element esa a elementning teskari ele- menti deb ataladi.

Demak, gruppa bu biror to‘plamda aniqlangan algebraik amalga nisbatan as- sosiativlik xossasi o‘rinli bo‘ladigan, birlik elementi mavjud bo‘lib, ixtiyoriy ele- menti teskarilanuvchi bo‘ladigan algebraik sistema ekan.
Agar (G, ∗) gruppaning ixtiyoriy a, b ∈ G elementlari uchun
a ∗ b = b ∗ a
tenglik o‘rinli bo‘lsa, u holda (G, ∗) gruppa kommutativ gruppa yoki Abel gruppasi deyiladi. Kommutativ bo‘lmagan gruppa esa nokommutativ gruppa deyiladi.