O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi mirzo ulug‘bek nomidagi o‘zbekiston milliy universiteti

Mustaqil ishlash uchun misol va masalalar

1. Quyidagi to‘plamlar keltirilgan amallarga nisbatan gruppa bo‘ladimi?

   
   

   • (nZ, +) – natural n soniga karrali butun sonlar to‘plami qo‘shish amaliga nisbatan;

     
     

   • ({2n+1 | n ∈ Z}, +) – barcha toq butun sonlar to‘plami qo‘shish amaliga nisbatan;

     
     

   • (R₊, ·) – musbat haqiqiy sonlar to‘plami ko‘paytirish amaliga nisbatan;

     
     

   • ({z ∈ C | zⁿ = 1}, ·) – birning n-darajali barcha kompleks ildizlari to‘plami ko‘paytirish amaliga nisbatan;

     
     

• (R, ∗) – haqiqiy sonlar to‘plami, a ∗ b = a kabi aniqlangan amalga nis- batan;

  
  
• 
  

  2
  (R, ∗) – haqiqiy sonlar to‘plami, a ∗ b = ^a+b kabi aniqlangan amalga

  
  

nisbatan;

• (R, ∗) – haqiqiy sonlar to‘plami, a ∗ b = a^b kabi aniqlangan amalga nis- batan;

  
  

• (M × M, ∗) to‘plam, (x, y) ∗ (z, t) = (x, t) kabi aniqlangan amalga nis- batan, bu yerda M qandaydir to‘plam, M × M – dekart ko‘paytma.

  
  
1. 
   
   G = R \ {1} to‘plamni a ∗ b = a + b − ab amalga nisbatan gruppa tashkil qilishini isbotlang.
   
2. 
   
   G = R \ {−1} to‘plamni a ∗ b = a + b + ab amalga nisbatan gruppa tashkil qilishini isbotlang.
   
3. 
   
   G = {(a, b)| a, b ∈ R, b /= 0} to‘plamdan olingan ixtiyoriy (a, b), (c, d) ∈ G elementlar o‘rtasida ∗ binar amal (a, b) ∗ (c, d) = (a + bc, bd) ko‘rinishida aniqlansa, u holda (G, ∗) nokommutativ gruppa bo‘lishini isbotlang.
   

4. Quyidagi matritsalar to‘plaminining qaysilari matritsalarni qo‘shish amaliga nisbatan gruppa bo‘lishini aniqlang.

   
   

• 
  
  
  c d
  G = ( ^{a b}
  
• 
  
  
  c d
  G = ( ^{a b}
  
• 
  

  0 c

  
  G = ( ^{a b}
  

| a, b, c, d ∈ Z).

| a, b, c, d ∈ 2Z).
| a, b, c ∈ R).



^ | a, b, c ∈ R_ .

• 
  
  G = 0 1 c
  

0 0 1

^_ _{1 a b}  ^_

6. 
   

   ( •

   
   Quyidagi matritsalar to‘plaminining qaysilari matritsalarni ko‘paytirish ama- liga nisbatan gruppa bo‘lishini aniqlang.
   

_{G =} a b
−b a
| a² + b² =/ 0, a, b ∈ R).

• 
  
  
  c d
  G = ( ^{a b} | ad − bc = 1, a, b, c, d ∈ R).
  

• 
  

  0 1
  G = ( ^{1 n} | n ∈ Z).

  
  



^ | a, b, c ∈ R_ .

• 
  
  G = 0 1 c
  

0 0 1

^_ _{1 a b}  ^_

7. Quyidagi matritsalar to‘plami ko‘rsatilgan amallarga nisbatan gruppa bo‘ladimi?

   
   

   • Simmetrik matritsalar to‘plami qo‘shish amaliga nisbatan.

     
     

   • Simmetrik matritsalar to‘plami ko‘paytirish amaliga nisbatan.

     
     

   • Determinanti noldan farqli bo‘lgan matritsalar to‘plami qo‘shish amaliga nisbatan.

     
     

   • Determinanti noldan farqli bo‘lgan matritsalar to‘plami ko‘paytirish amaliga nisbatan.

     
     

   • Dioganal ko‘rinishidagi matritsalar to‘plami qo‘shish amaliga nisbatan.

     
     

   • Dioganal ko‘rinishidagi matritsalar to‘plami ko‘paytirish amaliga nis- batan.

     
     

   • Yuqori uchburchak ko‘rinishidagi matritsalar to‘plami qo‘shish amaliga nisbatan.

     
     

   • Yuqori uchburchak ko‘rinishidagi matritsalar to‘plami ko‘paytirish ama- liga nisbatan.

     
     

   • Yuqori uchburchak ko‘rinishidagi teskarilanuvchi matritsalar to‘plami ko‘paytirish amaliga nisbatan.

     
     

   • Barcha ortogonal (A^T A = AA^T = E shartni qanoatlantiruvchi) matri- tsalar to‘plami ko‘paytirish amaliga nisbatan.

     
     

8. Biror X to‘plamni o‘zini o‘ziga o‘tkazuvchi barcha akslantirishlar to‘plami, superpozitsiya amaliga nisbatan yarim gruppa tashkil qilib, gruppa bo‘lmasligini ko‘rsating.

   
   
9. 
   
   
   cx+d
   y = ^ax+b, a, b, c, d ∈ R, ad − bc /= 0 ko‘rinishidagi funksiyalar to‘plami super- pozitsiya amaliga gruppa tashkil qilishini isbotlang.
   

10. U₆, U₇, U₉, U₁₂, U₂₄ gruppalarning elementlarini ko‘rsating.

    
    

11. (Z₁₂, +) gruppa elementlarining tartiblarini aniqlang.

    
    

12. (U₉, ·) gruppa elementlarining tartiblarini aniqlang.

    
    

13. (GL₂(R), ·) gruppaning tartibi 2 ga teng bo‘lgan barcha elementlarini toping.

    
    

14. Agar (G, ∗) gruppaning ixtiyoriy a ∈ G elementi uchun a² = e tenglik o‘rinli bo‘lsa, u holda (G, ∗) gruppa kommutativ ekanligini isbotlang.

    
    

15. Agar (G, ∗) gruppaning ixtiyoriy a, b ∈ G elementlari uchun (a ∗ b)² = a² ∗ b²

    
    

tenglik o‘rinli bo‘lsa, u holda (G, ∗) gruppa kommutativ ekanligini isbotlang.

16. (G, ∗) gruppa kommutativ bo‘lishi uchun, ixtiyoriy a, b ∈ G elementlar uchun (a∗b)⁻¹ = a⁻¹ ∗b⁻¹ tenglik o‘rinli bo‘lishi zarur va yetarli ekanligini isbotlang.

    
    

17. Agar (G, ∗) gruppaning a, b ∈ G elementlari uchun a⁴ = e va a² ∗ b = b ∗ a

    
    

bo‘lsa, u holda a = e ekanligini ko‘rsating.

18. Agar (G, ∗) gruppaning a, b ∈ G elementlari uchun a ∗ b = b ∗ a⁻¹ va b ∗ a =

    
    

a ∗ b⁻¹ bo‘lsa, u holda a⁴ = b⁴ = e ekanligini isbotlang.

19. Agar (G, ∗) gruppaning a, b ∈ G elementlari uchun a² = e va a ∗ b⁴ ∗ a = b⁷

    
    

33
bo‘lsa, u holda b = e ekanligini ko‘rsating.

20. Agar (G, ∗) gruppaning a, b ∈ G elementlari uchun a⁻¹ ∗ b² ∗ a = b³ va

    
    

b⁻¹ ∗ a² ∗ b = a³ bo‘lsa, u holda a = b = e ekanligini ko‘rsating.

21. (G, ∗) gruppaning ixtiyoriy a, b ∈ G elementlari uchun quyidagilarni isbot- lang:

    
    

    • ord(a) = ord(a⁻¹);

      
      

    • ord(a) = ord(b ∗ a ∗ b⁻¹);

      
      

    • ord(a ∗ b) = ord(b ∗ a).

      
      

22. Agar (G, ∗) gruppaning a, b ∈ G elementlari uchun a ∗ b = b⁵ ∗ a³ munosabat o‘rinli bo‘lsa, u holda ord(b ∗ a⁻¹) = ord(b⁵ ∗ a) = ord(b³ ∗ a³) ekanligini isbotlang.

    
    

23. Agar (G, ∗) gruppaning a, b ∈ G elementlari uchun ord(a) = n, ord(b) = m, (n, m) = 1 va a ∗ b = b ∗ a munosabatlar o‘rinli bo‘lsa, u holda ord(a ∗ b) = nm ekanligini isbotlang.

    
    

2. O‘rin almashtirishlar gruppasi

Endi chekli nokommutativ gruppa bo‘lgan o‘rin almashtirishlar gruppasini aniqlaymiz. O‘rin almashtirishlar gruppasi bu bo‘sh bo‘lmagan chekli to‘plamni o‘zini o‘ziga o‘tkazuvchi barcha biyektiv akslantirishlar to‘plamining superpozi- tsiya amaliga nisbatan aniqlangan gruppasi hisoblanadi. Ushbu gruppa muhim

gruppalardan bo‘lib, to‘plamning quvvati 2 dan katta bo‘lganda u nokommutativ gruppa bo‘ladi.

Bo‘sh bo‘lmagan X to‘plamda aniqlangan π : X → X biyektiv akslantirishga

X to‘plamning o‘rin almashtirishi deb ataladi. X to‘plamning barcha o‘rin almashtirishlaridan iborat bo‘lgan to‘plamni S(X) kabi belgilaymiz. Yuqorida ta’kidlaganimizdek, S(X) to‘plam superpozitsiyasi (kompozitsiya) amaliga nis- batan gruppa tashkil qiladi, ya’ni ixtiyoriy f, g ∈ S(X) o‘rin almashtirishlarning ko‘paytmasi sifatida ularning f ◦ g superpozitsiyasini qaraymiz.
Ushbu amal uchun assosiativlik o‘rinli bo‘lib, birlik element vazifasini ayniy akslantirish, teskari element vazifasini esa teskari akslantirish bajaradi. Ushbu (S(X), ◦) gruppaga o‘rin almashtirishlar gruppasi deb ataladi.
Agar X to‘plam chekli to‘plam bo‘lib, uning elementlari soni n ta, ya’ni |X| = n bo‘lsa, u holda (S(X), ◦) gruppa S_n kabi belgilanadi. S_n o‘rin almashtirish- lar gruppasining elementlarini qulayroq ko‘rinishda yozish uchun quyidagi bel- gilashlarni kiritib olamiz. |X| = n bo‘lganligi uchun X to‘plam o‘rniga I_n =
{1, 2, . . . , n} to‘plamni qarab π : I_n → I_n biyektiv akslantirishni
π = {(1, π(1)), (2, π(2)), . . . , (n, π(n))}

yoki

_{π =} 1 2 3 . . . n π(1) π(2) π(3) . . . π(n)
(1.1)

ko‘rinishda yozib olsih mumkin. Demak, S_n gruppaning ixtiyoriy elementini (1.1) ko‘rinishda yozish mumkin.

Masalan, I₄ da aniqlangan π ∈ S₄ biyektiv akslantirishni π(1) = 2, π(2) =

4, π(3) = 3 va π(4) = 1 ko‘rinishda aniqlasak, bu elementni quyidagicha yozish mumkin:

_{π =} 1 2 3 4 _.
2 4 3 1
S_n gruppadagi π, ϕ ∈ S_n o‘rin almashtirishlar o‘rtasidagi ko‘paytma ularning superpozitsiyasi kabi aniqlanganligi uchun

π =1 2 3 . . . n va o‘rin almashtirishlarning ko‘paytmasi	ϕ = ^1	2 3 . . . ϕ(2) ϕ(3) . . .	n ϕ(n)
π ◦ ϕ = ^1 2	3 . . . π(ϕ(3)) . . .	n

π(1) π(2) π(3) . . . π(n) ϕ(1)


π(ϕ(1)) π(ϕ(2)) π(ϕ(n))
kabi bo‘ladi.

Masalan, π₁, π₂ ∈ S₄ o‘rin almashtirishlar uchun

bo‘lsa, u holda

_{π =} 1 2 3 4 _{, π}
¹ 4 1 2 3 ²
₌ 1 2 3 4
2 1 4 3

π ◦ π
₌ 1 2 3 4 _◦ 1 2 3 4 ₌ 1 2 3 4

1 2
bo‘ladi.

4 1 2 3

2 1 4 3
1 4 3 2

Ta’kidlash joizki, S_n gruppa birlik elementining ko‘rinishi

_{e =} 1 2 3 . . . n
1 2 3 . . . n

kabi bo‘lsa,

_{π =} 1 2 3 . . . n π(1) π(2) π(3) . . . π(n)

π =
elementning teskarisi esa
₋₁ 1 2 3 . . . n π⁻¹(1) π⁻¹(2) π⁻¹(3) . . . π⁻¹(n)

ko‘rinishida bo‘ladi.

4 1 2 3

2 3 4 1
Masalan, π = ^{1 2 3 4} o‘rin almashtirish uchun π⁻¹ = ^{1 2 3 4} .