O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi mirzo ulug‘bek nomidagi o‘zbekiston milliy universiteti

6.1.4-natija. Agar
K = L₀ ⊂ L₁ ⊂ L₂ ⊂ · · · ⊂ L_n = F

bo‘lib, har bir L_i maydon L_i−1 maydonda chekli bo‘lsa, u holda K ⊂ F kengaytma ham chekli bo‘lib,

tenglik o‘rinli.
[F : K] = [L₁ : L₀][L₂ : L₁] . . . [L_n : L_n−1]

Bundan tashqari 6.1.4-tasdiqdan quyidagi muhim natija ham kelib chiqadi.

6.1.5-natija. Ixtiyoriy murakkab algebraik kengaytma chekli kengaytma bo‘ladi.
Isbot. 6.1.1-tasdiqqa ko‘ra har bir sodda algebraik kengaytma chekli bo‘lib, murakkab algebraik kengaytma chekli sondagi sodda algebraik kengaytmalarning ketma-ket qo‘llanilishi orqali hosil bo‘lishini hisobga olsak, 6.1.4-tasdiqqa ko‘ra ixtiyoriy murakkab algebraik kengaytmaning chekli ekanligi kelib chiqadi.
Yuqorida hosil qilingan 6.1.2, 6.1.3 va 6.1.5-natijalardan quyidagi teoremaga ega bo‘lamiz.
6.1.1-teorema. K ⊂ F kengaytma uchun quyidagilar teng kuchli:

• 
  
  K ⊂ F chekli kengaytma;
  
• 
  
  K ⊂ F algebraik hosil qilingan kengaytma;
  
• 
  
  K ⊂ F murakkab algebraik kengaytma.
  

6.1.1-misol. x² − 3 ko‘phadni Q(^√2) maydonda keltirilmas ekanligini isbotlang.
Yechish. Teskarisini faraz qilaylik, ya’ni x² − 3 ko‘phad Q(√2) maydonda
ko‘paytuvchilarga ajralsin. U holda
x² − 3 = (x − (a + b^√2))(x − (c + d^√2)), a, b, c, d ∈ Q.
Bu tenglikdan
x² − 3 = x² − (a + c + (b + d)^√2)x + ac + 2bd + (ad + bc)^√2 ekanligi, ya’ni
a + c = 0, b + d = 0, ac + 2bd = −3, ad + bc = 0
kelib chiqadi. Demak, c = −a, d = −b, a² + 2b² = 3 va ab = 0. Oxirgi tenglikdan
a = 0 yoki b = 0 kelib chiqib, a² + 2b² = 3 tenglik esa, a, b ∈ Q b_√o‘lganda o‘rinli
emasligi kelib chiqadi. Shunday qilib, biz x² − 3 ko‘phadning Q( 2) maydonda
keltirilmas ekanligini ko‘rsatdik. Q