O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi mirzo ulug‘bek nomidagi o‘zbekiston milliy universiteti

6.1.2-misol. Q ⊂ Q(^√2, ^√3) kengaytmaning bazisini toping.
Yechish. Quyid_√agi Q ⊂ Q(√2) ⊂ Q(√2, √3_√) kengaytmalarni qaraymiz.
Ma’lumki, Q ⊂ Q( 2) ken_√gaytmaning bazisi {1, 2} bo‘ladi, chunki, x² − 2
ko‘phad Q maydon ustida 2_√sonining minimal_√ko‘phadi. Yuqoridagi 6.1.1-
misolga ko‘ra x² −_√3 ko‘phad_√Q _√2 maydon ustida 3 sonining_√minimal ko‘phadi
bo‘lib, bundan Q( 2) ⊂ Q( 2, 3) kenga_√ytm_√aning bazisi {1, 3} ekanligi kelib
chiq_√adi._√U _√holda 6.1.4-tasdiqqa ko‘ra [Q( 2, 3) : Q] = 4 bo‘lib, uning bazisi
{1, 2, 3, 6} bo‘ladi. Q

2. Separabel va normal kengaytmalar

Ushbu bo‘limda biz separabel va normal kengaytmalarni o‘rganamiz.
6.2.1-ta’rif. Bizga K maydon va f (x) ko‘phad berilgan bo‘lsin. Agar K maydon- ning qandaydir F kengaytmasida f (x) ko‘phad chiziqli ko‘paytuvchilarga ajralib, kengaytma orasidagi hech qaysi qism maydonda chiziqli ko‘paytuvchilarga ajral- masa, u holda F maydon f (x) ko‘phadning (K maydon ustidagi ) yoyilish may- doni deb ataladi.
Boshqacha qilib aytganda, F maydon f (x) ko‘phad chiziqli ko‘paytuvchilarga ajraluvchi eng kichik maydondir. Agar f (x) ko‘phadning barcha α₁, α₂, . . . , α_n ildizlarini o‘z ichiga oluvchi qandaydir universal maydon mavjud bo‘lsa, u holda K maydon ustidagi f (x) ko‘phadning yoyilish maydoni K(α₁, α₂, . . . , α_n) maydondan iborat bo‘ladi.

6.2.2-ta’rif. Agar f (x) ko‘phad K maydonda keltirilmas bo‘lib, f (x) ko‘phadning yoyilish maydonida ushbu ko‘phadning ildizlari turli bo‘lsa, u holda bu ko‘phadga separabel ko‘phad deb ataladi.