2.1.4-ta’rif. Berilgan G gruppani G/H faktor gruppaga akslantiruvchi g(a) = aH, ∀a ∈ G ko‘rinishda aniqlangan gomomorfizmga tabiiy gomomorfizm deb ataladi.
Ushbu teoremada gruppalarda aniqlangan izomorfizmning xossalarini kelti- ramiz.
2.1.4-teorema. G gruppani G1 gruppaga akslantiruvchi f izomorfizm berilgan bo‘lsin, u holda quyidagilar o‘rinli:
f −1 : G1 → G ham izomorfizm;
G kommutativ bo‘lishi uchun G1 ham kommutativ bo‘lishi zarur va yetarli;
Ixtiyoriy a ∈ G element uchun ord(a) = ord(f (a)) tenglik o‘rinli;
G siklik gruppa bo‘lishi uchun G1 ham siklik bo‘lishi zarur va yetarli.
−1 −1
Isbot. 1) f akslantirish biyektiv ekanligidan, f −1 ham biyektiv ekanligi kelib chiqadi. Endi, f −1 akslantirishning gomomorfizm ekanligini ko‘rsatamiz. Ixtiyoriy u, v ∈ G1 elementlar uchun f (a) = u va f (b) = v tengliklarni qanoatlantiruvchi a, b ∈ G elementlar topiladi. Bundan esa, a = f −1(u), b = f −1(v) kelib chiqib, u ∗1 v = f (a) ∗1 f (b) = f (a ∗ b) ekanligidan, f −1(u ∗1 v) = a ∗ b = f −1(u) ∗ f −1(v) tenglikka ega bo‘lamiz, ya’ni f akslantirish gomomorfizm bo‘ladi. Demak, f izomorfizm ekan.
Aytaylik, G gruppa kommutativ bo‘lsin. f akslantirishning syurektiv ekan- ligidan, ixtiyoriy u, v ∈ G1 elementlar uchun shunday a, b ∈ G elementlar topilib, f (a) = u, f (b) = v bo‘ladi. U holda
u ∗1 v = f (a) ∗1 f (b) = f (a ∗ b) = f (b ∗ a) = f (b) ∗1 f (a) = v ∗1 u.
Demak, G1 ham kommutativ gruppa.
Va aksincha, agar G1 kommutativ gruppa bo‘lsa, ixtiyoriy a, b ∈ G elementlar uchun
f (a ∗ b) = f (a) ∗1 f (b) = f (b) ∗1 f (a) = f (b ∗ a).
f akslantirish o‘zaro bir qiymatli bo‘lganligi uchun a ∗ b = b ∗ a kelib chiqadi. Demak, G ham kommutativ gruppa.
f akslantirishning gomomorfizmligidan ixtiyoriy a ∈ G element va n ∈ N
uchun f (an) = (f (a))n tenglik o‘rinli ekanligi kelib chiqadi. Agar f (b) = e1 bo‘lsa, u holda f inyektiv bo‘lganligi uchun b = e. Demak, an = e tenglik o‘rinli bo‘lishi uchun (f (a))n = e1 bo‘lishi zarur va yetarli. Faraz qilaylik, ord(a) = m va ord(f (a)) = n bo‘lsin, u holda am = e ekanligidan (f (a))m = e1 kelib chiqadi. 1.1.1-teoremaga ko‘ra n soni m ga karrali va shuningdek, (f (a))n = e1 ekanligidan m soni n ga karrali ekanligi kelib chiqadi. Demak, m = n.
Faraz qilaylik, G siklik gruppa bo‘lsin, ya’ni G = ⟨a⟩. U holda f (a) ∈ G1
ekanligidan ⟨f (a)⟩ ⊆ G1 kelib chiqadi. G1 gruppadan b element tanlab olsak, u holda f syurektiv akslantirish bo‘lgani uchun f (c) = b tenglikni qanoatlan- tiradigan c ∈ G element mavjud. G siklik gruppa ekanligini hisobga olsak, c = an tenglikni qanoatlantiruvchi n butun son mavjud. Natijada,
b = f (c) = f (an) = (f (a))n ∈ ⟨f (a)⟩.
Demak, G1 = ⟨f (a)⟩, ya’ni siklik gruppa. f −1 akslantirishning ham izomor- fizmligidan va G1 gruppaning siklik ekanligidan G gruppaning ham siklik gruppa bo‘lishi kelib chiqadi.
Quyidagi teoremada siklik gruppalarning to‘liq tasnifini keltiramiz.
Dostları ilə paylaş: |