O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi mirzo ulug‘bek nomidagi o‘zbekiston milliy universiteti

4.1.1-lemma. Aytaylik, G gruppaning X to‘plamga ta’siri aniqlangan bo‘lsin. Ixtiyoriy a ∈ X element uchun [G : St(a)] = |orb(a)| tenglik o‘rinli. Ya’ni, a elementning orbitasi elementlari soni St(a) qism gruppaning indeksiga teng.
Isbot. L orqali St(a) qism gruppaning barcha chap qo‘shni sinflaridan tashkil topgan oilani bilgilaymiz, ya’ni L = {gSt(a) | g ∈ G}. Biz ushbu L to‘plam va orb(a) orasida o‘zaro bir qiymatli moslik o‘rnatamiz. Buning uchun quyidagicha f : L → orb(a) akslantirish aniqlaymiz:
f (gSt(a)) = g ٨ a, ∀gSt(a) ∈ L.
Bu akslantirishning to‘g‘ri aniqlanganligi va inyektivligi quyidagi munosabat- lardan kelib chiqadi:

g₁St(a) = g₂St(a) ⇔ g₂⁻¹ · g₁ ∈ St(a)

⇔ g₂⁻¹ ٨ (g₁ ٨ a) = (g₂⁻¹ · g₁) ٨ a = a ⇔ g₁ ٨ a = g₂ ٨ a.
Uning syurektiv bo‘lishi ham osongina kelib chiqadi, chunki ∀b ∈ orb(a) uchun
g ∈ G topilib, g ٨ a = b, ya’ni, f (gSt(a)) = g ٨ a = b.
Demak, f : L → orb(a) biyektiv, ya’ni [G : St(a)] = |L| = |orb(a)|.
Agar gruppaning a, b ∈ G elementlari uchun shunday g ∈ G element topilib, b = g⁻¹ · a · g tenglik o‘rinli bo‘lsa, u holda a va b elementlar o‘zaro qo‘shma elementlar deyiladi.
4.1.2-misolda H sifatida G gruppani o‘zini olsak, gruppaning o‘zidan o‘ziga bo‘lgan ta’sirini hosil qilamiz. a ∈ G elementning ushbu ta’sirdagi orbitasi, unga qo‘shma bo‘lgan elementlar to‘plamidan iborat bo‘ladi, ya’ni
orb(a) = {b ∈ G | b = g⁻¹ · a · g}.
Ushbu to‘plamga a elementning qo‘shma sinfi deb ataladi. Ravshanki, G gruppa o‘zaro kesishmaydigan qo‘shma sinflarning birlashmasidan iborat bo‘ladi. Endi qism gruppalar uchun qo‘shmalik ta’rifini keltiramiz. Agar G gruppaning
H va K qism gruppalari uchun ∃g ∈ G element topilib, H = g⁻¹ · K · g tenglik
o‘rinli bo‘lsa, u holda bu qism gruppalar qo‘shma deyiladi.
Yuqoridagi lemmadan G chekli gruppa bo‘lsa, u holda ixtiyoriy elementning orbitasining quvvati (elementlar soni) gruppaning tartibi bo‘luvchisi ekanligi kelib
chiqadi. Bundan tashqari ekvivalent sinflarning aniqlanishi undagi elementning tanlanishiga bog‘liq bo‘lmaganligini hisobga olsak, a ∼ b ekanligidan [G : St(a)] = [G : St(b)] tenglik kelib chiqadi. Yuqoridagi mulohazalardan va 4.1.1-lemmadan foydalanib, quyidagi teoremani isbotlash mumkin.