O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi mirzo ulug‘bek nomidagi o‘zbekiston milliy universiteti

4.1.1-misol. Bizga X to‘plam va G = S(X) o‘rin almashtirishlar gruppasi beril- gan bo‘lsin. G gruppaning X to‘plamga ta’sirini quyidagicha aniqlaymiz:
f ٨ x = f (x), ∀f ∈ G, x ∈ X.
U holda e ∈ G birlik element uchun e ٨ x = e(x) = x va ixtiyoriy f, g ∈ G
uchun
(f ◦ g) ٨ x = (f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f ٨ (g(x)) = f ٨ (g ٨ x)
tengliklar bajariladi. Ya’ni G gruppaning X to‘plamga ta’siri aniqlangan.
Quyidagi misolda X to‘plam sifatida G gruppaning biror H normal qism grup- pasini olib, uning G-to‘plam bo‘lishini ko‘rsatamiz.
4.1.2-misol. Aytaylik, G gruppa va uning H normal qism gruppasi berilgan bo‘lsin. G gruppaning H to‘plamga ta’sirini quyidagicha aniqlaymiz:
g ٨ h = g · h · g⁻¹, ∀g ∈ G, ∀h ∈ H.
H normal qism gruppa bo‘lganligi uchun g ٨ h ∈ H bo‘lib, e ٨ h = e · h · e⁻¹ = h
va ∀g₁, g₂ ∈ G uchun
(g₁ · g₂) ٨ h = (g₁ · g₂) · h · (g₁ · g₂)⁻¹ = (g₁ · g₂) · h · (g₂⁻¹ · g₁⁻¹)
= g₁ · (g₂ · h · g₂⁻¹) · g₁⁻¹ = g₁ · (g₂ ٨ h) · g₁⁻¹ = g₁ ٨ (g₂ ٨ h)
tengliklar o‘rinli bo‘ladi. Demak, H qism gruppa G-to‘plam bo‘ladi.
4.1.3-misol. Aytaylik G gruppaning biror H qism gruppasi berilgan bo‘lsin, X =
{aH | a ∈ G} deb olsak, u holda G gruppaning X to‘plamga ta’sirini quyidagicha aniqlaymiz:
g ٨ (aH) = (g · a)H, ∀g ∈ G, ∀aH ∈ X.
U holda, e ٨ (aH) = (e · a)H = aH va
(g₁ · g₂) ٨ (aH) = ((g₁ · g₂) · a)H = (g₁(·g₂ · a))H = g₁ ٨ (g₂ ٨ (aH))
ekanligidan X ning G-to‘plam ekanligi kelib chiqadi.
Endi G gruppaning X to‘plamga ta’siri aniqlangan bo‘lsa, bu orqali X to‘plamda ekvivalentlik munosabatini kiritish mumkinligini ko‘rsatamiz. Buning uchun X to‘plamning a, b elementlari orasidagi a ∼ b munosabatni quyidagicha aniqlaymiz:

agar g ∈ G mavjud bo‘lib, g ٨ a = b bo‘lsa, u holda a ∼ b.

Quyidagi teoremada, ushbu ∼ munosabatning ekvivalentlik munosabati ekan- ligini isbotlaymiz.