O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi mirzo ulug‘bek nomidagi o‘zbekiston milliy universiteti

4.1.1-teorema. Aytaylik, G gruppa berilgan bo‘lib, bo‘sh bo‘lmagan X to‘plam esa G-to‘plam bo‘lsin. X to‘plamda aniqlangan ∼ munosabat ekvivalentlik munosabati bo‘ladi, bu yerda
a ∼ b ⇔ ∃g ∈ G, g ٨ a = b.
Isbot. Ixtiyoriy a ∈ X, uchun e ٨ a = a ekanligidan a ∼ a, ya’ni ∼ munosa- batning refleksiv ekanligi kelib chiqadi.
Endi ushbu munosabatning simmetrik ekanligini ko‘rsatamiz. Agar a, b ∈ X
uchun a ∼ b bo‘lsa, u holda g ∈ G element topilib, g ٨ a = b bo‘ladi. Bundan esa,
g⁻¹ ٨ b = g⁻¹ ٨ (g ٨ a) = (g⁻¹ · g)a = e ٨ a = a
ekanligi, ya’ni b ∼ a kelib chiqadi. Demak, ∼ munosabat simmetrik ekan.
Endi munosabatning tranzitivligini ko‘rsatamiz. Agar a ∼ b va b ∼ c bo‘lsa, u holda g₁, g₂ ∈ G elementlar topilib, g₁ ٨ a = b va g₂ ٨ b = c bo‘ladi hamda
(g₂ · g₁) ٨ a = g₂ ٨ (g₁ ٨ a) = g₂ ٨ b = c
tengliklardan a ∼ c ekanligi, ya’ni ∼ munosabatning tranzitivligi kelib chiqadi. Demak, ∼ munosabat ekvivalentlik munosabati bo‘ladi.
Har qanday ekvivalentlik munosabati berilgan to‘plamni o‘zaro kesishmay- digan sinflarga ajratgani uchun, yuqorida aniqlangan ekvivalentlik munosabati ham X to‘plamni sinflarga ajratadi. Ushbu sinflar G gruppaning X to‘plamdagi orbitalari deb ataladi. Demak, a ∈ X elementning orbitasi [a] = {b ∈ X | b ∼ a} to‘plamdan iborat bo‘ladi va orb(a) kabi belgilanadi.
Endi a ∈ X element uchun G to‘plamning quyidagi qism to‘plamini
aniqlaymiz:
St(a) = {g ∈ G | g ٨ a = a}.
Ta’kidlash joizki, ushbu St(a) to‘plam G gruppaning qism gruppasi bo‘ladi. Haqiqatdan ham, e ٨ a = a ekanligidan e ∈ St(a) kelib chiqiadi. Ixtiyoriy g, h ∈ St(a) elementlar uchun, g ٨ a = a va h ٨ a = a ekanligidan quyidagi tengliklarga ega bo‘lamiz:
(g · h) ٨ a = g ٨ (h ٨ a) = g ٨ a = a,

h⁻¹ ٨ a = h⁻¹ ٨ (h ٨ a) = (h⁻¹ · h) ٨ a = e ٨ a = a.

Demak, g · h ∈ St(a) va h⁻¹ ∈ St(a), ya’ni St(a) to‘plam G gruppaning qism gruppasi bo‘ladi. Ushbu St(a) qism gruppalar statsionar qism gruppalar yoki stabilizatorlar deyiladi. Quyidagi lemmada a ∈ X elementning orbitasi va stabilizatori orasidagi munosabatni keltiramiz.