O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi mirzo ulug‘bek nomidagi o‘zbekiston milliy universiteti

Qism halqa va ideallar

Ushbu mavzuda gruppalar nazariyasidan ma’lum bo‘lgan qism gruppa va nor- mal bo‘luvchi tushunchalarining halqalar nazariyasidagi analogi hisoblangan qism halqalar va ideallar tushunchalari haqida gaplashamiz.

·
5.2.1-ta’rif. Bizga (R, +, ) halqa va uning R^′ qism to‘plami berilgan bo‘lsin. Agar R^′ to‘plam, R da aniqlangan amallarga nisbatan halqa tashkil qilsa, u holda (R^′, +, ·) halqaga (R, +, ·) halqaning qism halqasi deb ataladi. Boshqacha ayt- ganda, agar R^′ to‘plam (R, +) gruppaning qism gruppasi bo‘lib, ∀x, y ∈ R^′ uchun x · y ∈ R^′ shart bajarilsa, u holda (R^′, +, ·) qism halqa deyiladi.

Berilgan maydonning qism maydoni tushunchasi ham, qism halqa ta’rifi kabi aniqlanadi, ya’ni agar (F, +, ·) maydonning F ^′ qism to‘plami ham F da aniqlangan amallarga nisbatan maydon tashkil qilsa, u holda (F ^′, +, ·) qism maydon deyiladi.
Ushbu teorema halqaning berilgan qism to‘plamini qism halqa bo‘lishining zaruriy va yetarlilik shartini ifodalaydi.
5.2.1-teorema. (R, +, ·) halqaning R^′ qism to‘plami qism halqa bo‘lishi uchun quyidagi shartlarning bajarilishi zarur va yetarli:
∀x, y ∈ R, uchun x − y ∈ R va x · y ∈ R.

′
Isbot. Agar (R^′, +, ·) qism halqa bo‘lsa, u holda ∀x, y ∈ R^′ uchun x−y ∈ R va x · y ∈ R bo‘lishi ravshan. Va aksincha agar, ∀x, y ∈ R^′ uchun x − y ∈ R bo‘lsa, u holda 1.3.1-teoremaga ko‘ra R to‘plam (R, +) gruppaning qism gruppasi bo‘ladi.

∀x, y ∈ R^′ uchun x · y ∈ R ekanligidan esa, (R^′, +, ·) qism halqa bo‘lishi kelib
chiqadi.
5.2.1-misol. 1) nZ to‘plam (Z, +, ·) halqaning qism halqasi bo‘ladi.

2. 
   
   E₈ = {0, 2, 4, 6, } to‘plam (Z₈, +₈, ·₈) halqaning qism halqasi bo‘ladi.
   
3. 
   
   (Z, +, ·) halqa (Q, +, ·) halqaning qism halqasi bo‘ladi.
   
4. 
   
   (Q, +, ·) maydon (R, +, ·) maydonning qism maydoni bo‘ladi.
   
5. 
   
   (R, +, ·) maydon (C, +, ·) maydonning qism maydoni bo‘ladi.
   

Biz 5.2.2-teoremada halqaning biror qism to‘plami qism halqa bo‘lishi zaruriy va yetarlilik shartini keltirdik. Xuddi shunga o‘xshab, F maydonning bo‘sh bo‘lmagan S qism to‘plami qism maydon bo‘lishi uchun quyidagi shartlarning bajarishi zarur va yetarli:

1) |S| ≥ 2;

2. 
   
   ∀x, y ∈ S elementlar uchun x − y ∈ S va x · y ∈ S;
   

2. 
   
   ∀x ∈ S uchun x⁻¹ ∈ S.