O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi mirzo ulug‘bek nomidagi o‘zbekiston milliy universiteti

5.2.2-misol. Q(^√2) = {a + b^√2 | a, b ∈ Q} to‘plam R maydonning qism may-
doni bo‘ladi. H_√aqiqatda_√n ham, b_√u to‘plamning elementlari soni ikkitadan ko‘p va
ixtiyoriy a + b 2, c + d 2 ∈ Q( 2) uchun

a + b^√2 − (c + d^√2) = a − c + (b − d)^√2 ∈ Q(^√2),

(a + b^√2) · (c + d^√2) = ac + 2bd + (ad + bc)^√2 ∈ Q(^√2).
Bundan tashqari noldan farqli a + b^√2 ∈ Q(^√2) element uchun

(a + b√2)⁻¹ = ^{1 √}

₌ a − b^√2
= ^a − ^{b √}2 ∈ Q(^√2).

a + b 2
a² − 2b²
a² − 2b² a² − 2b²

Quyidagi teoremada qism halqalarning kesishmasi yana qism halqa bo‘lishini ko‘rsatamiz.

T
5.2.2-teorema. Ixtiyoriy sondagi qism halqalarning (maydonlarning ) kesishmasi yana qism halqa (qism maydon) bo‘ladi.
Isbot. Bizga R halqaning R_i qism halqalari berilan bo‘lsin. R_i to‘plamning
i

T
ham qism halqa ekanligini ko‘rsatamiz. Nol element ixtiyoriy qism halqaga tegishli

bo‘lganligi uchun qism halqalarning kesishmasida ham yotadi, demak R_i /= ∅.
Aytaylik, x, y ∈ ^T R_i bo‘lsin, u holda ixtiyoriy i uchun x, y ∈ R bo‘lib, R
i
i i

T
to‘plamlarning qism halqa ekanligidan, x − y, x · y ∈ R_i munosabat ixtiyoriy i

uchun bajarilishi kelib chiqadi. Bundan esa, x − y, x · y ∈ R_i hosil bo‘ladi.

T
i

Demak, R_i qism halqa.
i
Endi ideal tushunchasini kiritamiz. Yuqorida ta’kidlab o‘tganimizdek halqa-
ning ideali tushunchasi gruppaning normal bo‘luvchisinining analogi hisoblanadi. Bizga R halqa va uning bo‘sh bo‘lmagan I qism to‘plami berilgan bo‘lsin. Quyidagi shartlarni qaraymiz:

1. 
   
   I to‘plam (R, +) gruppaning qism gruppasi, ya’ni ∀a, b ∈ I uchun a − b ∈ I;
   
2. 
   
   Ixtiyoriy ∀a ∈ I va r ∈ R elementlar uchun r · a ∈ I;
   
3. 
   
   Ixtiyoriy ∀a ∈ I va r ∈ R elementlar uchun a · r ∈ I.