O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi mirzo ulug‘bek nomidagi o‘zbekiston milliy universiteti

5.1.15-misol. M₂(R) halqa regulyar halqa ekanligini ko‘rsating.

Yechish. Misolni yechish uchun ixtiyoriy A = ^{a b}
c d
elementning regulyar

ekanligini ko‘rsatamiz. Quyidagi hollarni qaraymiz.

1. 
   
   det(A) /= 0 bo‘lsin, u holda A matritsa teskarilanuvchi bo‘lib, B = A⁻¹
   

element uchun A = ABA bo‘ladi.

2. 
   

   a

   u holda d =

   
   
   
   ^bc bo‘lib, B =
   
   
   1
   a
   

   0
   
   

   
   matritsa uchun
   

   det(A) = 0 bo‘lsin. Agar A = 0, ya’ni a = b = c = d = 0 bo‘lsa, u holda ixtiyoriy B ∈ M₂(R) matrit sa uchu n A = ABA bo‘ladi. Agar a /= 0 bo‘lsa,

   
   

ABA =
0 0

a
a b ¹

c d
0 a b
₌ a b _.

0 0 c d c d
Demak, A matritsa regulyar element bo‘ladi.
Xuddi shunga o‘xshab, b 0, c 0 va d /= 0 bo‘lgan hollarda ham A
matritsaning regulyar element ekanligini ko‘rsatish mumkin. Ya’ni, M₂(R) regulyar halqa. Q

3. Mustaqil ishlash uchun misol va masalalar

   1. 
      
      Quyidagi sonlar to‘plamining qaysilari qo‘shish va ko‘paytirish amallariga nisbatan halqa tashkil qilishini aniqlang:
      
      • 
        
        nZ, ya’ni natural n soniga karrali bo‘lgan butun sonlar to‘plami.
        
      • 
        
        maxraji fiksirlangan tub sonning darajalaridan iborat bo‘lgan ratsional sonlar to‘plami.
        
      • 
        
        x + ^√2y ko‘rinishidagi haqiqiy sonlar to‘plami, bu yerda x, y ∈ Q.
        
      • 
        
        x + ^√3 2y ko‘rinishidagi haqiqiy sonlar to‘plami, bu yerda x, y ∈ Q.
        
      • 
        
        x+^√3 2y+^√3 4z ko‘rinishidagi haqiqiy sonlar to‘plami, bu yerda x, y, z ∈ Q.
        
   2. 
      
      Quyidagi to‘plamlarni halqa tashkil qilishini aniqlang, bu yerda i² = −1 :
      
      • 
        
        Z[^√n] = {x + y^√n | x, y ∈ Z}.
        
      • 
        
        Z[i] = {x + iy | x, y ∈ Z}.
        
      • 
        
        Q[i] = {x + iy | x, y ∈ Q}.
        
      • 
        
        Z[i^√n] = {x + iy^√n | x, y ∈ Z}.
        
      • 
        
        Q[i^√n] = {x + iy^√n | x, y ∈ Q}.
        

3. 
   
   Quyidagi matritsalar to‘plamining qaysilari matritsalarni qo‘shish va ko‘paytirish amallariga nisbatan halqa tashkil qilishini aniqlang:
   
   • 
     
     elementlari haqiqiy sonlardan iborat bo‘lgan simmetrik matritsalar to‘plami;
     
   • 
     
     elementlari haqiqiy sonlardan iborat bo‘lgan kososimmetrik matritsalar to‘plami;
     
   • 
     

     •
     elementlari haqiqiy sonlardan iborat bo‘lgan yuqori uchburchak ko‘rinishidagi matritsalar to‘plami;

     
     

a b

•
2b a

ko‘rinishidagi matritsalar to‘plami bu yerda a, b ∈ Z;

z w
−w z
ko‘rinishidagi matritsalar to‘plami bu yerda z, w ∈ C.

4.