O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi mirzo ulug‘bek nomidagi o‘zbekiston milliy universiteti

5.2.1-tasdiq. Bizga R halqa va uning a ∈ R elementi berilgan bo‘lsin. U holda quyidagilar o‘rinli:

• 
  
  ⟨a⟩ = {ra + as + na +
  

k

Σ
i=1

r_ias_i | r, s, r_i, s_i ∈ R, n ∈ Z}.

• 
  
  ⟨a⟩_l = {ra + na | r ∈ R, n ∈ Z}.
  
• 
  
  ⟨a⟩_r = {ar + na | r ∈ R, n ∈ Z}.
  

Σ
k

• 
  
  Agar R biri bor halqa bo‘lsa, u holda ⟨a⟩ = {
  

r_ias_i | r_i, s_i ∈ R, n ∈ Z}.

i=1

• 
  
  Agar a ∈ C(R) bo‘lsa, u holda ⟨a⟩ = {ra + na | r ∈ R, n ∈ Z}.
  

Berilgan R halqaning ixtiyoriy a ∈ R elementi uchun quyidagi to‘plamlarni qaraymiz
Ra = {ra | r ∈ R}, aR = {ra | r ∈ R}.

Ushbu to‘plamlar R halqaning mos ravishda chap va o‘ng ideallari bo‘ladi. Ushbu ideallar a elementni o‘z ichida olmasligi ham mumkin. Agar R biri bor halqa bo‘lsa, u holda a ∈ Ra va a ∈ aR. Bundan tashqari, agar R biri bor halqa bo‘lib, a ∈ C(R) bo‘lsa, u holda Ra = aR = ⟨a⟩ bo‘ladi. Demak, biri bor kommutativ halqalar uchun har doim Ra = aR = ⟨a⟩ tenglik o‘rinli bo‘lar ekan.

Biz yuqorida butun sonlar halqasi bosh ideallar halqasi bo‘lishini ko‘rsatgan edik. Quyidagi teoremada esa biror maydon ustida berilgan ko‘phadlar halqasi bosh ideallar halqasi ekanligini ko‘rsatamiz.
5.2.5-teorema. Biror maydon ustida berilgan ko‘phadlar halqasi bosh ideallar halqasi bo‘ladi.
Isbot. Aytaylik, F maydon berilgan bo‘lib, F[x] ko‘phadlar halqasi bo‘lsin. Ma’lumki, F[x] halqa biri bor kommutativ halqa bo‘ladi. Ushbu halqaning ix- tiyoriy J idealini bosh ideal ekanligini ko‘rsatamiz. Aytaylik, g(x) ko‘phad J idealning darajasi eng kichik bo‘lgan elementi bo‘lsin. U holda ixtiyoriy f (x) ∈ J ko‘phad uchun f (x) = g(x)· q(x) + r(x), deg(r(x)) < deg(g(x)) munosabat o‘rinli. J ideal bo‘lganligi uchun r(x) = f (x) − g(x) · q(x) ∈ J. Tanlangan g(x) ko‘phad J idealning darajasi eng kichik elementi bo‘lganligi uchun r(x) = 0 ekanligiga, ya’ni ixtiyoriy f (x) ∈ J uchun f (x) = g(x) · q(x) tenglikka ega bo‘lamiz. Bu esa J = ⟨g(x)⟩ ekanligini bildiradi.
Ta’kidlash joizki, 5.2.5-teoremada F ning maydon bo‘lishi muhim. Chunki, halqalar ustida berilgan ko‘phadlar halqasi har doim ham bosh idellar halqasi bo‘lavermaydi. Masalan, Z[x] ko‘phadlar halqasini qarasak, ushbu halqa bosh ideallar halqasi emas. Chunki uning ozod hadi juft butun sonlardan iborat bo‘lgan qism halqasi ideal bo‘lib, bosh ideal bo‘lmaydi.
Aytaylik, R halqaning A, B bo‘sh bo‘lmagan qism to‘plamlari berilgan bo‘lsin.
Quyidagi belgilashlarni kiritamiz:
A + B = {a + b | a ∈ A, b ∈ B}, AB = {a₁b₁ + a₂b₂ +· · · + a_nb_n | a_i ∈ A, b_i ∈ B}.
Agar bir nechta A₁, A₂, . . . , A_n qism to‘plamlar berilgan bo‘lsa, induktiv tarzda
A₁ + A₂ + · · · + A_n va (. . . (A₁A₂)A₃ . . . )A_n to‘plamlarni ham aniqlash mumkin.