O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi mirzo ulug‘bek nomidagi o‘zbekiston milliy universiteti

6.2.2-misol. K = Q, F = Q(^√2) va P = Q(^√4 2) bo‘lsin. Ma’lumki, Q(^√2)
maydon Q ratsional sonl_√ar maydoni _√ustidagi x² − 2 ko‘phadning y_√oyilish maydoni
bo‘lib, o‘z navbatida Q( ⁴ 2) esa Q_√( 2) may_√don ustida_√gi x² − 2 ko‘phadning
yoyilish maydonidir. Ya’ni Q ⊂ Q( 2)_√va Q( 2) ⊂ Q( ⁴ 2) kengaytmalar normal

√
kengaytmalar bo‘ladi. Lekin Q ⊂ Q( ⁴ 2) kengaytma normal kengaytma emas,

√ √
chunki Q( ⁴ 2) maydon ratsional sonlar maydoni ustida keltirilmas bo‘lgan x⁴ − 2 ko‘phadning ildizlaridan biri ⁴ 2 sonini o‘z ichiga olib, boshqa bir ildiz i ⁴ 2 esa ushbu maydonga tegishli emas.
Quyidagi tasdiqda esa tranzitivlik xossasi o‘rinli bo‘lishining zaruriy va yetarlilik shartini keltiramiz.
6.2.2-tasdiq. Bizga K ⊂ F va F ⊂ P normal kengaytmalar berilgan bo‘lsin. K ⊂ P kengaytmaning normal bo‘lishi uchun K maydonda shunday f (x) ko‘phad topilib, f (x) ko‘phadning F maydon ustidagi yoyilish maydoni P maydon bilan ustma-ust tushishi zarur va yetarli.
Isbot. Zaruriylik. Aytaylik, K ⊂ P kengaytma normal bo‘lsin. U holda K maydonda shunday f (x) ko‘phad topilib, ushbu ko‘phadning barcha ildizlari α₁, α₂, . . . , α_n uchun P = K(α₁, α₂, . . . , α_n) bo‘ladi. Bundan esa P ⊂ F(α₁, α₂, . . . , α_n) kelib chiqadi.
Ikkinchi tomondan F ⊂ P kengaytma normal ekanligidan F(α₁, α₂, . . . , α_n) ⊂ P
munosabatga ega bo‘lamiz. Demak, P = F(α₁, α₂, . . . , α_n), ya’ni P maydon koef- fitsiyentlari K maydondan olingan f (x) ko‘phadning F maydon ustidagi yoyilish maydoni bilan ustma-ust tushadi.
Yetarlilik. Aytaylik, koeffitsiyentlari K maydondan olingan f (x) ko‘phad uchun P = F(α₁, α₂, . . . , α_n) bo‘lsin, bu yerda α₁, α₂, . . . , α_n elementlar f (x) ko‘phadning barcha ildizlari. K ⊂ F kengaytma normal bo‘lganligi uchun K maydonda shunday g(x) ko‘phad mavjudki, uning barcha β₁, β₂, . . . , β_s ildizlari uchun F = K(β₁, β₂, . . . , β_s). U holda P = K(α₁, α₂, . . . , α_n, β₁, β₂, . . . , β_s) bo‘lib, ushbu α_i, β_j elementlar f (x)g(x) ko‘phadning barcha ildizlarini beradi. Demak, P maydon K maydon ustidagi f (x)g(x) ko‘phadning yoyilish maydoni bo‘ladi. Bu esa, K ⊂ P kengaytma normal ekanligini bildiradi.