6.5.1-tasdiq. f (x) = x
n − 1 ko‘phadning Galua gruppasi kommutativdir.
Isbot. Aytaylik, ζ element birning n-darajali boshlang‘ich ildizi bo‘lsin. U holda f (x) ko‘phadning Galua gruppasi Gal(K(ζ), K) bo‘lib, ixtiyoriy ψ ∈ Gal(K(ζ), K) avtomorfizm uchun ψ(ζ) element yana f (x) ko‘phadning ildizi bo‘ladi. Demak, qandaydir k soni uchun ψ(ζ) = ζ
k tenglik o‘rinli. Agar ζ
k element boshlang‘ich ildiz bo‘lmasa,
u holda qandaydir m < n uchun (ζ
k)
m = 1. Berilgan ψ avtomorfizmning teskarisini qarasak, ζ = ψ
−1(ζ
k) bo‘lib, ζ
m = ψ
−1((ζ
k)
m) = 1. Bu esa, ζ elementning boshlang‘ich ildiz ekanligiga zid, ya’ni ζ
k element bosh- lang‘ich ildiz. Demak, k va n sonlari o‘zaro tub.
Shunday qilib, biz har bir avtomorfizm uchun ζ boshlang‘ich ildizni ζ
k ga o‘tkazuvchi k elementni mos qo‘yamiz. Ushbu k soni n modul bo‘yicha
aniqlani- shini hisobga olsak, biz Gal(K(ζ), K) grupppadan U
n gruppaga bo‘lgan Ψ(ψ) = k kabi aniqlanuvchi gomomorfizmni hosil qilamiz,
bu yerda Un gruppa Z
n che- girmalar halqasining teskarilanuvchi elementlaridan iborat multiplikativ gruppa. Ψ(ψ) = 1 bo‘lishidan ψ avtomorfizmning ayniy ekanligi kelib chiqqanligi uchun