O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi mirzo ulug‘bek nomidagi o‘zbekiston milliy universiteti

6.4.3-tasdiq. K ⊂ F separabel va normal kengaytmada α, β ∈ F elementlar K maydonda qo‘shma bo‘lishi uchun, shunday ϕ ∈ Gal(F, K) avtomorfizm topilib, β = ϕ(α) bo‘lishi zarur va yetarli.


Isbot. Aytyaylik, β = ϕ(α) bo‘lib, f (x) ko‘phad α elementning minimal ko‘phadi bo‘lsin. Gal(F, K) Galua gruppasining ixtiyoriy avtomorfizmi K may- dondagi ixtiyoriy ko‘phad ildizini yana ildizga o‘tkazganligi uchun f (β) = 0. De- mak, α va β elementlar qo‘shma bo‘ladi.
Aksincha, agar α va β elementlar qo‘shma bo‘lsa, u holda Gal(F, K) gruppaning barcha elementlarini

deb olib,

ϕ₁ = id, ϕ₂, . . . , ϕ_n

ϕ₁(α) = α, ϕ₂(α), . . . , ϕ_n(α) (6.3)

elementlarni qaraymiz. Ixtiyoriy ψ ∈ Gal(F, K) avtomorfizm uchun
ψ(ϕ₁(α)), ψ(ϕ₂(α)), . . . , ψ(ϕ_n(α)) (6.4)
elementlarni qarasak, ushbu elementlar (6.3) elementlarning o‘rinlarini al- mashtirishdan hosil bo‘lgan elementlar bo‘ladi. Demak,

Y
n

g(x) = (x − ϕ_i(α))
i=1
ko‘phadning barcha koeffitsiyentlari ixtiyoriy ψ ∈ Gal(F, K) avtomorfizmda o‘zgarishsiz qoladi, ya’ni g(x) ko‘phad K maydonda aniqlangan ko‘phad bo‘ladi. Berilgan α element g(x) ko‘phadning ildizi bo‘lganligi uchun α elementning minimal f (x) ko‘phadi g(x) ko‘phadning bo‘luvchisi bo‘ladi. Bundan esa f (x) ko‘phadning β ildizi ham g(x) ko‘phadning ildizi ekanligi kelib chiqadi. g(x) ko‘phadning barcha ildizlari ϕ_j(α) ko‘rinishida bo‘lganligi uchun qandaydir j uchun β = ϕ_j(α).
Quyidagi teoremada normal kengaytmaga aynan normal qism gruppa mos ke- lishi ko‘rsatiladi.
6.4.2-teorema. Agar K ⊂ F separabel va normal kengaytmaning orasidagi L maydon K maydonning normal kengaytmasi bo‘lsa, u holda Gal(F, L) gruppa Gal(F, K) Galua gruppasining normal qism gruppasi bo‘ladi. Bundan tashqari, Gal(F, K) Galua gruppasining ixtiyoriy H normal qism gruppasiga mos keluvchi F_H maydon K maydonning normal kengaytmasi bo‘ladi.
Isbot. Aytaylik, K ⊂ L kengaytma normal bo‘lsin. U holda 6.4.3-tasdiqqa ko‘ra ixtiyoriy α ∈ L element va ϕ ∈ Gal(F, K) avtomorfizm uchun ϕ(α) element α bilan qo‘shma bo‘ladi. K ⊂ L kengaytma normal bo‘lganligi uchun α elementning qo‘shmasi yana L maydonga tegishli, ya’ni ϕ(α) ∈ L. Demak, ϕ : F → F avto- morfizmni L maydonda aniqlangan deb qarash mumkin. Aniqroq qilib aytganda,
L maydonda quyidagicha ϕ^′ akslantirishni aniqlaymiz
ϕ^′(α) = ϕ(α), ∀α ∈ L.

Ushbu ϕ^′ akslantirish L maydondagi avtomorfizm bo‘lib, K maydonning ele- mentlarini o‘zgarishsiz qoldiradi, ya’ni ϕ^′ ∈ Gal(L, K). Demak, biz Gal(F, K) gruppaning ixtiyoriy ϕ elementiga Gal(L, K) gruppaning ϕ^′ elementini mos qo‘ydik. Ushbu moslik, bu ikkita gruppa o‘rtasidagi gomomorfizmdir. Ya’ni Ψ(ϕ) = ϕ^′ kabi aniqlangan Ψ : Gal(F, K) → Gal(L, K) akslantirish uchun

Ψ(ϕ ◦ ψ) = Ψ(ϕ) ◦ Ψ(ψ)
munosabat o‘rinli. Ushbu Ψ gomomorfizmning yadrosi L maydonning barcha elementlarini o‘zgarishsiz qoldiradigan avtomorfizmlardan iborat bo‘ladi, ya’ni KerΨ = Gal(F, L). Ixtiyoriy gomomorfizmning yadrosi normal qism gruppa bo‘lganligi uchun Gal(F, L) gruppa Gal(F, K) Galua gruppasining normal qism gruppasi ekanligini hosil qilamiz. Demak, teoremaning birinchi qismi isbotlandi.
Aytaylik, Gal(F, K) Galua gruppasining ixtiyoriy H normal qism gruppasiga mos keluvchi F_H maydon berilgan bo‘lsin. H normal ekanligidan ixtiyoriy ψ ∈ H va ϕ ∈ Gal(F, K) elementlar uchun ϕ⁻¹ ◦ ψ ◦ ϕ ∈ H. Ya’ni ixtiyoriy α ∈ F_H uchun (ϕ⁻¹ ◦ ψ ◦ ϕ)(α) = α. Bundan esa, ψ(ϕ(α)) = ϕ(α) tenglikni, ya’ni ϕ(α) ∈ F_H ekanligini hosil qilamiz. Bu esa, F_H maydonning ixtiyoriy elementiga qo‘shma element yana shu maydonga tegishli ekanligini, ya’ni F_H maydonning normalligini bildiradi.
Yuqoridagi teoremadan quyidagi natijani hosil qilamiz.