O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi mirzo ulug‘bek nomidagi o‘zbekiston milliy universiteti

6.5.2-teorema. Sodda radikal kengaytmaning Galua gruppasi yechiluvchan bo‘ladi.
Isbot. Aytaylik, F = K(ζ, θ) bo‘lsin. 6.5.1-tasdiqning isboti kabi ixtiyoriy ψ ∈ Gal(F, K) avtomorfizm uchun ψ(ζ) = ζ^k shartni qanoatlanturuvchi k sonini mos qo‘yish mumkin. Bundan tashqari, θ element f (x) ko‘phadning ildizi bo‘lganligi uchun f (θ) ham shu ko‘phadning ildizi bo‘ladi. Bundan esa, ψ(θ) = ζ^mθ tenglik o‘rinli bo‘ladigan m soni mavjudligi kelib chiqadi. Demak, ixtiyoriy ψ ∈ Gal(F, K) avtomorfizmga (k, m) juftlikni mos qo‘yish mumkin.
Endi bu moslikni har bir komponentasi bo‘yicha n-modul aniqligida yagona ekanligini ko‘rsatamiz. Aytaylik, (k, m) va (k₁, m₁) juftliklar bitta ψ avtomor- fizmga mos kelsin. U holda
ψ(ζ) = ζ^k = ζ^k1 , ψ(θ) = ζ^mθ = ζ^m1 θ.
Bundan esa, ζ^k−k1 = 1 va ζ^m−m1 = 1 ekanligi ya’ni k − k₁ va m − m₁ sonlari n ga bo‘linishi kelib chiqadi. Demak, k ∈ U_n va m ∈ Z_n bo‘lib, biz Gal(F, K) gruppani U_n ×Z_n to‘plamga otkazuvchi inyektiv akslantirishga ega bo‘lamiz. Endi U_n × Z_n to‘plamda quyidagicha amal aniqlaymiz
(k₁, m₁) ◦ (k₂, m₂) = (k₁k₂, k₂m₁ + m₂).
U holda U_n × Z_n to‘plam ushbu amalga nisbatan gruppa tashkil qilib, bu gruppani M_n kabi belgilaymiz. Ushbu M_n gruppaning birlik elementi (1, 0) bo‘lib, (k, m) elementning teskarisi esa (k⁻¹, −k⁻¹m) bo‘ladi.
Agar H = {(1, m) | m ∈ Z_n} to‘plamni qarasak, ushbu to‘plam M_n gruppaning ^{normal qism gruppasi bo‘lib, kommutativ bo‘ladi. Bundan tashqari, Mn/H ∼}= ^Un
ekanligidan faktor gruppaning ham kommutativ ekanligi kelib chiqadi. Demak,