O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi mirzo ulug‘bek nomidagi o‘zbekiston milliy universiteti

1.3.2-teorema. (G, ∗) gruppaning markazi uning kommutativ qism gruppasi bo‘ladi.
Isbot. Ixtiyoriy a ∈ G element uchun e ∗ a = a ∗ e ekanligidan e ∈ Z(G) kelib chiqadi. Demak, Z(G) bo‘sh bo‘lmagan to‘plam. Aytaylik, b, c ∈ Z(G) bo‘lsin, ya’ni b ∗ a = a ∗ b, c ∗ a = a ∗ c tengliklar ∀a ∈ G uchun o‘rinli bo‘lsin. Bundan esa, a ∗ c⁻¹ = c⁻¹ ∗ a tenglik ham ∀a ∈ G uchun o‘rinli ekanligi kelib chiqadi. Quyidagi
a ∗ (b ∗ c⁻¹) = (a ∗ b) ∗ c⁻¹ = (b ∗ a) ∗ c⁻¹ = b ∗ (a ∗ c⁻¹) = b ∗ (c⁻¹ ∗ a) = (b ∗ c⁻¹) ∗ a
tenglikdan esa b ∗ c⁻¹ ∈ Z(G) ekanligini hosil qilamiz. Demak, Z(G) qism gruppa bo‘lib, uning kommutativ ekanligi esa ta’rifdan bevosita kelib chiqadi.
Quyidagi teoremada berilgan gruppaning qism gruppalari kesishmasi yana qism gruppa bo‘lishi ko‘rsatiladi.


1.3.3-teorema. (G, ∗) gruppaning ixtiyoriy sondagi qism gruppalari kesishmasi yana qism gruppa bo‘ladi.

qism gruppa uchun e ∈ H

to‘plamni qaraylik. Ixtiyoriy H

α

α∈I
_α bo‘lganligi uchun,

Isbot. Bizga G gruppaning H_α, α ∈ I qism gruppalari berilgan bo‘lib, ^T H_α
e ∈ ^T H_α bo‘ladi. Demak, ^T H_α to‘plam bo‘sh emas.

α∈I
Endi ∀a, b ∈
αT∈I
α∈I
H_α elementlarni olamiz. Bu elementlar har bir qism gruppaga
−1

^T∗ ∈

T
tegishli, ya’ni a, b ∈ H_α bo‘lganligi uchun a ∗ b ∈ H_α bo‘ladi. Bundan esa

_{a b}−1
α∈I
H_α kelib chiqadi. Demak,
α∈I
H_α qism gruppa.