O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi mirzo ulug‘bek nomidagi o‘zbekiston milliy universiteti

O(n) = {A ∈ GL_n(R) | AA^T = A^T A = E},
SO(n) = {A ∈ O(n) | det(A) = 1},
U(n) = {A ∈ GL_n(C) | AA^∗ = A^∗A = E},
SU(n) = {A ∈ U(n) | det(A) = 1},
bu yerda A^∗ = A^T , ya’ni A matritsaning elementlarini kompleks qo‘shmasi bilan

almashtirib, so‘ngra transponirlashdan hosil bo‘lgan matritsa.
Endi qism gruppaning xossalarini batafsilroq o‘rganishni boshlaymiz.
1.3.1-tasdiq. Gruppaning ixtiyoriy qism gruppasining birlik elementi, gruppa bir- lik elementi bilan ustma-ust tishadi.
Isbot. Aytaylik, H to‘plam G gruppaning qism gruppasi bo‘lib, e_H va e_G
elementlar mos ravishda (H, ∗) va (G, ∗) gruppalarning birlik elementlari bo‘lsin.
U holda, ixtiyoriy a ∈ H element uchun
a ∗ e_H = e_H ∗ a = a.
Ikkinchi tomondan H ⊂ G ekanligidan
a ∗ e_G = e_G ∗ a = a
hosil bo‘ladi. Bu tengliklardan e_G ∗ a = e_H ∗ a tenglik kelib chiqadi. Gruppada qisqartirish qoidasi o‘rinli bo‘lganligi uchun e_G = e_H ekanligini hosil qilamiz.
Yuqoridagi tasdiqdan ko‘rinadiki, berilgan H ⊂ G to‘plam (G, ∗) gruppaning

∀ ∈
qism gruppasi bo‘lishi uchun H to‘plam ∗ amaliga nisbatan yopiq bo‘lishi, G gruppaning birlik elementi H to‘plamda yotishi va a H elementning teskarisi a⁻¹ yana H to‘plamga tegishli bo‘lishi zarur va yetarli.

Quyidagi teoremada esa, yuqorida aytilgan shartlarni umumiy bitta shart bilan almashtiruvchi tasdiq beriladi.
1.3.1-teorema. (G, ∗) gruppaning bo‘sh bo‘lmagan H ⊂ G qism to‘plami qism gruppa bo‘lishi uchun ixtiyoriy a, b ∈ H elementlar uchun a ∗ b⁻¹ ∈ H munosabat- ning o‘rinli bo‘lishi zarur va yetarli.
Isbot. Zaruriylik. Aytaylik, (H, ∗) qism gruppa bo‘lsin, u holda ixtiyoriy a, b ∈ H elementlar uchun b⁻¹ ∈ H bo‘lib, bundan esa a ∗ b⁻¹ ∈ H munosabat o‘rinli ekanligi kelib chiqadi.