O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi mirzo ulug‘bek nomidagi o‘zbekiston milliy universiteti

Qo‘shni sinflar. Lagranj teoremasi

Biz ushbu mavzuda chekli gruppalar uchun asosiy teoremalardan hisoblangan Lag- ranj teoremasi haqida ma’lumot beramiz. Lagranj teoremasi chekli gruppa qism gruppalari tartibi haqida ma‘lumot beruvchi teorema hisoblanadi. Dastlab, qism gruppaning chap va o‘ng qo‘shni sinflari tushunchalarini kiritamiz.
1.4.1-ta’rif. Bizga G gruppa va uning H qism gruppasi berilgan bo‘lsin. Ixtiyoriy a ∈ G element uchun quyidagi aH = {a∗h | h ∈ H} va Ha = {h∗a | h ∈ H} to‘p- lamlar mos ravishda H qism gruppaning chap va o‘ng qo‘shni sinflari deyiladi.
Ta’kidlash joizki, eH = He tenglik har doim o‘rinli bo‘ladi. Bundan tashqari, a element har doim aH va Ha qo‘shni sinflarga tegishli bo‘ladi. Agar G kommutativ gruppa bo‘lsa, u holda aH = Ha tenglik ixtiyoriy a ∈ G uchun o‘rinli.
1.4.1-misol. S₃ gruppaning A₃ qism gruppasi barcha chap qo‘shni sinflarini tuza- miz, bu yerda
A₃ = {e, (1 2 3), (1 3 2)}.
Buning uchun S₃ = {e, (1 2), (1 3), (2 3), (1 2 3), (1 3 2)} gruppaning barcha elementlari bo‘yicha aA₃ chap qo‘shni sinflarni yozib chiqamiz:
eA₃ = {e, (1 2 3), (1 3 2)},
(1 2)A₃ = {(1 2), (1 3), (2 3)},
(1 3)A₃ = {(1 2), (1 3), (2 3)},
(2 3)A₃ = {(1 2), (1 3), (2 3)},
(1 2 3)A₃ = {e, (1 2 3), (1 3 2)},
(1 3 2)A₃ = {e, (1 2 3), (1 3 2)}.
Demak, eA₃ = (1 2 3)A₃ = (1 3 2)A₃ va (1 2)A₃ = (1 3)A₃ = (2 3)A₃ tengliklar
o‘rinli bo‘lar ekan.
Yuqoridagi misoldan ko‘rinib turibdiki, turli a, b ∈ G elementlar uchun ham aH va bH qo‘shni sinflar teng bo‘lishi mumkin. Quyidagi teoremada turli elementlarga mos keluvchi chap (o‘ng) qo‘shni sinflarning teng bo‘lishining zaruriy va yetarlilik kriteriyasini keltiramiz.
1.4.1-teorema. G gruppa va uning H qism gruppasi berilgan bo‘lsin. Ixtiyoriy
a, b ∈ G elementlar uchun quyidagi munosabatlar o‘rinli:

1. 
   
   aH = bH ⇔ b⁻¹ ∗ a ∈ H.
   
2. 
   
   Ha = Hb ⇔ a ∗ b⁻¹ ∈ H.
   

Isbot. Faraz qilaylik aH = bH tenglik o‘rinli bo‘lsin. U holda a ∈ aH va aH = bH ekanligidan, a = b ∗ h′ tenglikni qanoatlantiruvchi h′ ∈ H element mavjudligi kelib chiqadi. Bundan b⁻¹ ∗ a = h′ ∈ H munosabatga ega bo‘lamiz.
Endi, aksincha b⁻¹ ∗ a ∈ H munosabat o‘rinli bo‘lsin, u holda b⁻¹ ∗ a = h′ ∈ H deb belgilasak, a = b ∗ h′ kelib chiqadi. Ixtiyoriy a ∗ h ∈ aH element uchun a ∗ h = b ∗ (h′ ∗ h) ∈ bH ekanligidan aH ⊆ bH munosabatga ega bo‘lamiz. Endi, bH ⊆ aH munosabat o‘rinli ekanligini ko‘rsatamiz. b⁻¹ ∗ a = h′ tenglikni a ∗ (h′ )⁻¹ = b ko‘rinishida yozib olaylik. Ixtiyoriy b ∗ h ∈ bH elementni olsak, u holda b ∗ h = a ∗ (h′ )⁻¹ ∗ h ∈ aH ekanligidan bH ⊆ aH munosabatga ega bo‘lamiz. Demak, aH = bH.

Teoremaning 2-qismining isboti ham 1-qismining isbotiga o‘xshab ko‘rsatiladi.

Endi turli qo‘shni sinflarning kesishmasligini isbotlaymiz.