O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi mirzo ulug‘bek nomidagi o‘zbekiston milliy universiteti

1.3.4-misol. Tartibi nm(n > 1, m > 1) ga teng bo‘lgan gruppaning xos qism gruppasi mavjud ekanligini ko‘rsating.
Yechish. Aytaylik, G gruppaning tartibi nm soniga teng bo‘lsin. Agar G siklik bo‘lsa, u holda G = ⟨a⟩ bo‘lib, ord(a^m) = n bo‘ladi. H = ⟨a^m⟩ to‘plam esa, G gruppaning xos qism gruppasi bo‘ladi.
Agar G gruppa siklik bo‘lmasa, u holda uning birlik elementdan farqli ixtiyoriy a ∈ G elementini olib, H = ⟨a⟩ to‘plamni qarasak, ushbu to‘plam G gruppaning xos qism gruppasi bo‘ladi. Q

1. Mustaqil ishlash uchun misol va masalalar

   1. 
      
      Quyidagi to‘plamlar (Z₁₂, +₁₂) gruppaning qism gruppasi bo‘lishini isbotlang:
      
      • 
        
        H₁ = {0, 2, 4, 6, 8, 10}.
        
      • 
        
        H₂ = {0, 3, 6, 9}.
        
      • 
        
        H₃ = {0, 4, 8}.
        
   2. 
      
      Quyidagi matritsalar to‘plamlarini (GL₂(R), ·) gruppaning qism gruppasi bo‘lishini isbotlang:
      

• 
  
  S₁
  

• 
  
  S₂
  

₌ a b c d


₌ a 0

0 a
| ad − bc = 1 .

| a /= 0 .

• 
  
  S₃
  

₌ a b
−b a
| a² + b² /= 0 .

• 
  
  S₄
  

₌ a b

0 d
| ad /= 0 .

3. 
   
   H = SL_n(R) to‘plam G = (GL_n(R, ·) gruppaning qism gruppasi bo‘lishini isbotlang.
   
4. 
   
   H = {z ∈ C | |z| = 1} to‘plam (C\{0}, ·) gruppaning qism gruppasi bo‘lishini ko‘rsating.
   

5. 
   
   G = {(a, b)| a, b ∈ R, b 0} to‘plamda binar amal (a, b) ∗ (c, d) = (a + bc, bd)
   

kabi kiritilgan bo‘lsa, u holda quyidagilarni isbotlang:

• 
  
  (G, ∗) nokommutativ gruppa.
  
• 
  
  H₁ = {(a, b) ∈ G | a /= 0} to‘plam G gruppaning qism gruppasi.
  
• 
  
  H₂ = {(a, b) ∈ G | b > 0} to‘plam G gruppaning qism gruppasi.
  
• 
  
  H₃ = {(a, b) ∈ G | b = 1} to‘plam G gruppaning qism gruppasi.
  
1. 
   
   G = {(a, b)| a, b ∈ R, b /= 0}, (a, b) ∗ (c, d) = (a + bc, bd) gruppaning tartibi 2 ga teng bo‘lgan elementlarini toping.
   
2. 
   
   (Z, +) gruppaning quyidagi qism gruppalarini aniqlang:
   
   • 
     
     H₁ = ⟨4, 6⟩.
     
   • 
     
     H₂ = ⟨4, 7⟩.
     
   • 
     
     H₃ = ⟨6, 9⟩.
     
3. 
   
   (Z, +) gruppaning barcha qism gruppalarini aniqlang.
   
4. 
   
   S₃ gruppaning quyidagi T = {x ∈ S₃ | x² = e} qism to‘plami qism gruppa bo‘ladimi?
   
5. 
   
   S₃ gruppaning barcha qism gruppalarini aniqlang.
   
6. 
   
   S₄ gruppaning tartibi 3 ga teng bo‘lgan barcha qism gruppalarini aniqlang. 12. Ushbu H = {e, (1 2)◦(3 4), (1 3)◦(2 4), (1 4)◦(2 3)} to‘plam S₄ gruppaning