O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi mirzo ulug‘bek nomidagi o‘zbekiston milliy universiteti

qism gruppasi bo‘lishini isbotlang.

13. 
    
    S₄ gruppaning tartibi 4 ga teng bo‘lgan barcha qism gruppalarini aniqlang.
    
14. 
    
    S₄ gruppaning H = ⟨(1 2), (1 2 3 4)⟩ qism gruppasini aniqlang.
    
15. 
    
    S_n gruppa uchun quyidagilarni isbotlang:
    
    • 
      
      S_n = ⟨(1 2), (1 3), . . . , (1 n)⟩.
      

• 
  
  S_n = ⟨(1 2), (1 2 3 . . . , n)⟩.
  
• 
  
  S_n = ⟨(1 2), (2 3), . . . , (n − 1 n)⟩.
  
• 
  
  A_n = ⟨(1 2 3), (1 2 4), . . . , (1 2 n)⟩.
  
13. 
    
    G gruppaning a va b elementlari uchun ord(a) = 6, ord(b) = 2, va (ab)² = e
    

tengliklar o‘rinli bo‘lsa, u holda quyidagilarni isbotlang:

• 
  
  aba = b.
  
• 
  
  (a²b)² = e.
  
• 
  
  ba²b = a⁴.
  
• 
  
  ba³b = a³.
  
13. 
    
    Kommutativ gruppaning barcha chekli tartibli elementlaridan tuzilgan to‘plam qism gruppa bo‘lishini isbotlang.
    
14. 
    
    Barcha elementlarining tartibi chekli bo‘lgan cheksiz gruppa mavjudmi?
    
15. 
    
    G gruppani ikkita xos qism gruppalarning birlashmasi ko‘rinishida tasvirlab bo‘lmasligini isbotlang.
    
16. 
    
    Gruppaning ikkita qism gruppasi birlashmasi qism gruppa bo‘lishi uchun biri ikkinchisining ichida yotishi zarur va yetarli ekanligini isbotlang.
    
17. 
    
    G gruppaning H qism gruppasi uchun ⟨H⟩ = H tenglik o‘rinli ekanligini isbotlang.
    
18. 
    
    Tartibi 30 ga teng bo‘lgan ⟨a⟩ siklik gruppa berilgan bo‘lsin. U holda quyidagi qism gruppalarning elementlarini toping:
    
    • 
      
      ⟨a²⟩.
      
    • 
      
      ⟨a³⟩.
      
    • 
      
      ⟨a⁴⟩.
      
    • 
      
      ⟨a⁵⟩.
      
    • 
      
      ⟨a⁶⟩.
      
19. 
    
    Tartibi 20 ga teng bo‘lgan siklik gruppaning tartibi 5 ga teng bo‘lgan ele- mentlari sonini aniqlang.
    
20. 
    
    Quyidagi gruppalardan qaysilari siklik gruppa bo‘ladi:
    
    • 
      
      (2Z, +).
      
    • 
      
      (Q, +).
      

• 
  
  (R, +).
  
• 
  
  ({z ∈ C | zⁿ = 1}, ·) – birning n-darajali barcha kompleks ildizlari to‘plamining multiplikativ gruppasi.
  
• 
  
  (Q \ {0}, ·).
  
• 
  
  (R \ {0}, ·).
  
13. 
    
    GL₂(C) gruppaning quyidagi qism gruppalarini aniqlang:
    
    • 
      

      −1 0
      A = _{0 1} .

      
      
    • 
      

      1 0
      

      
      ^* −1 0 0 ^+
      B = _{0 i} .
      

• 
  
  C =
  

0 0 1 .





0 1 0

13. 
    
    GL₂
    

(R) gruppaning A = ^{0 1} va B = ^{0 1}
elementlarining

−1 0 −1 −1
tartiblarini toping. ⟨AB⟩ siklik gruppa GL₂(R) gruppaning cheksiz siklik
gruppasi bo‘lishini isbotlang.

13. 
    
    Elementlari butun sonlardan iborat bo‘lgan n-tartibli ortogonal matritsalar to‘plami O(Z) gruppa tashkil qilishini ko‘rsating, hamda uning tartibini aniqlang.
    
14. 
    
    Tartibi n ga teng bo‘lgan siklik gruppaning hosil qiluvchi elementlari soni
    

ϕ(n) ga teng ekanligini isbotlang, bu yerda ϕ-Eyler funksiyasi.

13. 
    
    S₃ gruppaning ixtiyoriy xos qism gruppasi siklik gruppa bo‘lishini isbotlang.
    
14. 
    
    S₄ gruppaning barcha siklik qism gruppalarini toping.
    
15. 
    
    Ixtiyoriy nokommutativ gruppa xos qism gruppaga ega ekanligini isbotlang.
    
16. 
    
    Quyidagi mulohazalardan qaysilari o‘rinli?
    
    • 
      
      Ixtiyoriy n natural son uchun, tartibi n ga teng bo‘lgan siklik gruppa mavjud.
      
    • 
      
      A₄ gruppaning ixtiyoriy xos qism gruppasi siklik bo‘ladi.
      
    • 
      
      A₃ – siklik gruppa.
      
    • 
      
      A₄ – siklik gruppa.
      
    • 
      
      (R, +) gruppaning ixtiyoriy xos qism gruppasi siklik gruppa bo‘ladi.
      

4.