O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi mirzo ulug‘bek nomidagi o‘zbekiston milliy universiteti

1.4.5-teorema (Lagranj teoremasi). G chekli gruppaning tartibi uning H qism gruppasining tartibiga qo‘ldiqsiz bo‘linadi va |G| = [G : H] · |H| tenglik o‘rinli.
Isbot. Bizga G gruppa va uning H qism gruppasi berilgan bo‘lsin. Gruppa chekli bo‘lganligi uchun, H qism gruppaning chap qo‘shni sinflari soni chekli bo‘ladi. Aytaylik, H ning barcha chap qo‘shni sinflari soni r bo‘lib, ular
{a₁H, a₂H, . . . , a_rH} bo‘lsin, ya’ni [G : H] = r. U holda 1.4.1-natijaga ko‘ra

G =

a_iH, bu yerda a_iH ∩ a_jH = ∅, i

j, 1 ≤ i, j ≤ r. Ushbu qo‘shni sinflar

_Sr

i=1

kesishmaydigan bo‘lganligi uchun

|G| = |a₁H| + |a₂H| + · · · + |a_rH|
tenglik o‘rinli.

1.4.2-natijaga ko‘ra |H| = |a_iH|, 1 ≤ i ≤ r bo‘lib,
|G| = |a₁H| + |a₂H| + · · · + |a_rH| = |H| + |H| + · · · + |H| = r|H| = [G : H]|H|.

^` r m^˛¸arta ^x
Demak, G gruppaning tartibi H qism gruppaning tartibiga qo‘ldiqsiz bo‘linar
ekan.

∈
1.4.3-natija. Agar G gruppaning tartibi n ga teng bo‘lsa, u holda ixtiyoriy a G

elementning tartibi n ning bo‘luvchisi bo‘lib, aⁿ = e bo‘ladi.
Isbot. Aytaylik ord(a) = k bo‘lsin, u holda H = ⟨a⟩ siklik qism gruppa k ta elementdan iborat, ya’ni |H| = |⟨a⟩| = ord(a) = k. Yuqoridagi 1.4.5-teoremaga ko‘ra esa, n soni k ga bo‘linadi, ya’ni n = kq. Demak,

aⁿ = a^kq = (a^k)^q = e^q = e.

1.4.4-natija. Agar G tartibi tub son bo‘lgan gruppa bo‘lsa, u holda G siklik gruppa bo‘ladi. Bundan tashqari, tartibi tub songa teng bo‘lgan siklik gruppalar xos qism gruppaga ega emas.
Isbot. G gruppaning a ∈ G (a /= e) elementi uchun H = ⟨a⟩ siklik qism gruppani qarasak, u holda |H| soni |G| ning bo‘luvchilaridan biri bo‘ladi. |G| tub son bo‘lganligi va |H| ≥ 2 ekanligi uchun |G| = |H| tenglik kelib chiqadi, ya’ni G = H.
Endi qism gruppalarning ko‘paytmasi tushunchasini kiritamiz.
1.4.2-ta’rif. G gruppaning H va K bo‘sh bo‘lmagan qism to‘plamlari ko‘paytmasi deb HK = {h ∗ k | h ∈ H, k ∈ K} to‘plamga aytiladi.
Tabiiyki, ushbu ta’rif yordamida G gruppaning bir nechta H₁, H₂, . . . , H_n bo‘sh bo‘lmagan qism to‘plamlari ko‘paytmasini quyidagicha aniqlanishi kelib chiqadi

H₁H₂ . . . H_n = {h₁ ∗ h₂ ∗ · · · ∗ h_n | h_i ∈ H_i}.
Agar G gruppaning H va K bo‘sh bo‘lmagan qism to‘plamlari qism grup- palar bo‘lsa, ularning ko‘paytmasi HK to‘plam ham G gruppaning qism gruppasi bo‘ladimi degan tabiiy savol tug‘iladi. Ushbu savolga quyidagi teoremada javob beriladi.