O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi mirzo ulug‘bek nomidagi o‘zbekiston milliy universiteti

1.4.7-teorema. G gruppaning H va K qism gruppalari ko‘paytmasi ham qism gruppa bo‘lishi uchun HK = ⟨H ∪ K⟩ bo‘lishi zarur va yetarli.
Isbot. Aytaylik, HK ko‘paytma G gruppaning qism gruppasi bo‘lsin. U holda H ⊆ HK va K ⊆ HK bo‘lib, H ∪ K ⊆ HK bo‘ladi. ⟨H ∪ K⟩ qism gruppa H ∪ K to‘plamni o‘z ichiga oluvchi eng kichik qism gruppa bo‘lganligi uchun
⟨H ∪ K⟩ ⊆ HK. Bu munosabatning teskarisi esa H, K ⊆ ⟨H ∪ K⟩ ekanligidan va
⟨H ∪ K⟩ ning qism gruppaligidan kelib chiqadi, ya’ni ixtiyoriy h ∈ H va k ∈ K



elementlar uchun h, k ∈ ⟨H ∪ K⟩ bo‘lib, h ∗ k ∈ ⟨H ∪ K⟩ bo‘ladi. Demak,

HK ⊆ ⟨H ∪ K⟩, bundan esa HK = ⟨H ∪ K⟩ kelib chiqadi.
Teorema ikkinchi tomonining isboti esa, ⟨H ∪ K⟩ ning qism gruppaligidan bevosita kelib chiqadi.
Quyidagi teoremada chekli H va K qism gruppalarning ko‘paytmasi element- lari soni uchun o‘rinli bo‘lgan formulani keltiramiz.
1.4.8-teorema. G gruppaning H va K chekli qism gruppalari berilgan bo‘lsin. U holda

| |
_{HK =} |H||K| _.

|H ∩ K|
Isbot. Ma’lumki, H va K qism gruppalarning kesishmasi A = H ∩ K ham G gruppaning qism gruppasi bo‘ladi. Bundan tashqari, A to‘plam H gruppan- ing ham qism gruppasi bo‘lib, Lagranj teoremasiga ko‘ra |H| soni |A| soniga bo‘linadi, ya’ni |H| = |A| · n. U holda [H : A] = n, ya’ni H qism gruppada A ning n ta turli chap qo‘shni sinflari mavjud. Ushbu chap qo‘shni sinflar oilasini

{x₁A, x₂A, . . . , x_nA} ko‘rinishda yozib olamiz. U holda H =

i=1

x_iA bo‘lib, A

_Sn

to‘plam K gruppaning ham qism gruppasi ekanligidan foydalansak,

n n

i=1

i=1

HK = ^[ x_iA K = ^[ x_iK

tenglikka ega bo‘lamiz. Endi x_iK va x_jK = (i /= j) chap qo‘shni sinflarning turli ekanligini ko‘rsatamiz. Faraz qilaylik, x_iK = x_jK bo‘lsin, u holda x⁻_i ¹ ∗ x_j ∈ K. Ikkinchi tomondan esa, x⁻_i ¹ ∗ x_j ∈ H bo‘lganligi uchun x⁻_i ¹ ∗ x_j ∈ A munosabatga ega bo‘lamiz. Natijada x_jA = x_iA tenglik kelib chiqadi, bu esa A ning H dagi turli chap qo‘shni sinflari sifatida tanlab olinganiga zid. Demak, x₁K, x₂K, . . . , x_nK to‘plamlar turli qo‘shni sinflar bo‘ladi. U holda

|HK| = |x₁K| + |x₂K| + · · · + |x_nK| bo‘lib, |K| = |x_iK|, i = 1, n ekanligidan (1.4.2-natijaga qarang)

|HK| = |K| + · · · + |K| = n|K| = ^|H||K|

₌ |H||K|

tenglikka ega bo‘lamiz`.

n m^˛¸arta ^x
|A|
|H ∩ K|

Quyidagi natija yuqoridagi teoremadan to‘g‘ridan-to‘g‘ri kelib chiqadi.