O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi mirzo ulug‘bek nomidagi o‘zbekiston milliy universiteti

4.1.9-misol. Tartibi 2m (m toq son) ga teng gruppa tartibi m ga teng normal qism gruppaga ega ekanligini ko‘rsating.


Yechish. Keli teoremasiga ko‘ra G gruppa S(G) gruppaning biror H qism gruppasiga izomorf bo‘lib, ψ : G → H ⊆ A(G) izomorfizm esa quyidagicha aniqlanadi
ψ(g) = τ_g bu yerda τ_g(a) = g · a.
G gruppaning tartibi juft bo‘lganligi uchun g ∈ G element topilib, ord(g) =

2. 
   
   bo‘ladi. U holda τ_g(τ_g(a)) = g²a = a ekanligidan τ_g o‘rin almashtirish (a, ga) ko‘rinishidagi transpozitsiyalarning ko‘paytmasi ko‘rinishida ekanligi kelib chiqadi. |G| = 2m bo‘lganligi uchun τ_g o‘rin almashtirish orqali hosil bo‘ladigan (a, ga) transpozitsiyalar soni m ta bo‘ladi, ya’ni τ_g toq o‘rin almashtirish bo‘ladi. Bundan esa, H qism gruppada toq o‘rin almashtirishlar ham mavjudligi kelib chiqadi (chunki τ_g ∈ H).
   

Endi H gruppadan {−1, 1} gruppaga f : H → {−1, 1} akslantirishni aniqlaymiz

(
_{f (σ) =} 1 agar σ juft o‘rin almashtirish bo‘lsa

−1 agar σ toq o‘rin almashtirish bo‘lsa
^{Ushbu akslantirish epimorfizm bo‘lib, H/Kerf ∼}= ^{{−1, 1} bo‘ladi. Bundan esa,}

| |
Kerf = ^|H| = ^2m = m

|{−1, 1}| 2
kelib chiqadi. Demak, H gruppa tartibi m ga teng bo‘lgan normal qism gruppaga ega. H gruppa G ga izomorf bo‘lganligi uchun G ham tartibi m ga teng bo‘lgan normal qism gruppaga ega bo‘ladi. Q

1. Mustaqil ishlash uchun misol va masalalar

   1. 
      
      S₄ o‘rin almashtirishlar gruppasining I₃ = {1, 2, 3, 4} to‘plamga quyidagi ko‘rinishda aniqlangan π ٨a = π(a) ta’sirining barcha orbitalari va statsionar qism gruppalarni toping.
      
   2. 
      
      n-o‘lchamli V chiziqli fazodagi barcha teskarilanuvchi chiziqli almashtirishlar gruppasining V to‘plamga ta‘siri orbitasini toping.
      
   3. 
      
      Uch o‘lchamli V chiziqli fazodagi barcha ortogonal chiziqli almashtirishlar gruppasining statsionar qism gruppalari va orbitalarini aniqlang.
      
   4. 
      

      •
      I₁₀ = {1, 2, . . . , 10} to‘plamga S₁₀ gruppaning quyidagi siklik qism gruppalari ta’siri barcha statsionar qism gruppalari va orbitalarini toping:

      
      

5	8	3	9	4
1	2	3	4	5
7	4	6	1	8

_{G =} 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 _.

10 6 2 1 7

• 
  
  G =
  

6 7 8 9 10 _.
3 2 9 5 10

• 
  
  G = ⟨(1 6 9)(2 10)(3 4 5 7 8 )⟩ .
  
1. 
   
   Agar G gruppaning H qism gruppasi berilgan bo‘lib, |H| = 11 va [G : H] = 4 bo‘lsa u holda H a G ekanligini isbotlang.
   
2. 
   
   Agar G gruppaning H qism gruppasi berilgan bo‘lib, [G : H] = n va H qism gruppa G ning notrivial normal qism gruppasini o‘z ichiga olmasa, ψ : H → S_n monomorfizm mavjudligini isbotlang.
   
3. 
   
   G = GL₂(R) gruppa va S = R² to‘plam berilgan bo‘lsin. U holda S ning
   

G-to‘plam ekanligini ko‘rsating, bu yerda
^{a b} (x, y) = (ax + by, cx + dy). c d

8. 
   
   Agar G gruppadan X to‘plamga ta’sir aniqlangan bo‘lib, |G| = 77 va |X| = 20 bo‘lsa, u holda qo‘zg‘almas nuqta mavjudligini ko‘rsating.
   
9. 
   
   Tartibi 80 ga teng bo‘lgan gruppaning tartibi 16 ga teng qism gruppasi mavjud bo‘lsa, u holda bu gruppaning sodda emasligini ko‘rsating.
   
10. 
    
    Tartibi 70 ga teng bo‘lgan gruppaning tartibi 14 ga teng qism gruppasi mavjud bo‘lsa, u holda bu gruppaning sodda emasligini ko‘rsating.
    
11. 
    
    Tartibi 6, 10, 14, 22, 26, 34 va 58 ga teng bo‘lgan gruppalar sodda emasligini isbotlang.
    

12. 
    
    Tartibi 8 ga teng bo‘lgan gruppaning sodda emasligini ko‘rsating.
    
13. 
    
    Tartibi 63 ga teng bo‘lgan sodda gruppaning tartibi 21 bo‘lgan qism gruppasi mavjud emasligini isbotlang.
    
14. 
    
    Isbotlang: N (aHa⁻¹) = aN (H)a⁻¹.
    
15. 
    
    G gruppaning H va K qism gruppalari berilgan bo‘lsin. H a K bo‘lishi uchun H ⊆ K ⊆ N (K) bo‘lishi zarur va yetarli ekanligini isbotlang.
    
16. 
    
    Agar G gruppaning H va K qism gruppalari qo‘shma bo‘lsa, u holda N (H) va N (K) qism gruppalar ham qo‘shma ekanligini isbotlang.
    

2. Silov teoremalari

Lagranj teoremasidan ma’lumki, chekli gruppaning ixtiyoriy qism gruppasining tartibi, gruppaning bo‘luvchisi bo‘ladi. Lekin ushbu teoremaning teskarisi o‘rinli emas, ya’ni tartibi gruppa tartibining bo‘luvchisiga teng bo‘lgan qism gruppa har doim ham mavjud bo‘lavermaydi. Masalan, tartibi 12 ga teng bo‘lgan A₄ gruppaning tartibi 6 ga teng bo‘lgan qism gruppasi mavjud emas. Haqiqatdan ham, agar A₄ gruppaning tartibi 6 ga teng qism gruppasi mavjud bo‘lganida, u Z₆ va S₃ gruppalardan biriga izomorf bo‘lar edi. A₄ gruppada tartibi 6 ga teng element bo‘lmaganligi uchun, uning Z₆ gruppaga izomorf qism gruppasi mavjud emas. S₃ gruppada tartibi 2 ga teng bo‘lib, o‘zaro o‘rin almashmaydigan (12) va (13) elementlar mavjud. Lekin A₄ gruppada bunday elementlar mavjud emas, ya’ni uning tartibi 2 ga teng bo‘lgan (12)(34), (13)(24), (14)(23) elementlarining barchasi o‘zaro o‘rin almashinuvchi bo‘ladi. Demak, A₄ gruppaning S₃ ga izomorf bo‘lgan qism gruppasi ham mavjud emas.
Ushbu paragrafda biz tartibi p^k( p – tub) soniga bo‘lingan har qanday gruppa tartibi p^k ga teng bo‘lgan qism gruppaga ega ekanligi va bunday qism gruppalarn- ing o‘zaro qo‘shmaligi hamda ularning soni haqida malumot beruvchi teoremalarni o‘rganamiz. Ushbu teoremalar norvegiyalik matematik L.Silov tomonidan 1872 yilda isbotlangan bo‘lib, uning sharafiga Silov teoremalari deb nomlanadi.
Quyidagi lemmada kommutativ gruppalar uchun Lagranj teoremasining teskarisi p tub son uchun o‘rinli ekanligini ko‘rsatamiz.