O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi mirzo ulug‘bek nomidagi o‘zbekiston milliy universiteti

4.2.6-misol. Agar tartibi 52 ga teng bo‘lgan gruppa tartibi 4 ga teng normal qism gruppaga ega bo‘lsa, u holda gruppaning kommutativ ekanligini isbotlang.
Yechish. Aytaylik, G gruppaning H normal qism gruppasi mavjud bo‘lib,
|H| = 4 bo‘lsin. U holda H kommutativ bo‘ladi. Ikkinchi tomondan esa, |G| = 13·4 bo‘lgani uchun gruppaning Silov 13-qism gruppalari mavjud, hamda ularning soni 13k + 1 bo‘lib, u 52 sonining bo‘luvchisi. Bundan esa, G gruppa yagona Silov 13-qism gruppaga ega ekanligi kelib chiqadi. Agar ushbu Silov 13-qism gruppani A orqali belgilasak, A a G bo‘lib, A ∩ H = {e} bo‘ladi. Ushbu A va

| ∩ |
H qism gruppalarning normal ekanligidan va |AH| = ^|A||H| = 52 bo‘lishidan esa,

A H
G = A × H kelib chiqadi. Har ikkala A va H normal qism gruppalar kommutativ
bo‘lganligi uchun G ham kommutativ bo‘ladi. Q

1. Mustaqil ishlash uchun misol va masalalar

   1. 
      
      Tartibi 14 ga teng bo‘lgan gruppaning tartibi 7 ga teng yagona normal qism gruppasi mavjudligini isbotlang.
      
   2. 
      
      Tartibi 24 ga teng bo‘lgan gruppaning tartibi 7 ga teng bo‘lgan elementlari nechta bo‘lishini aniqlang.
      
   3. 
      
      Tartibi 36 ga teng bo‘lgan kommutativ gruppaning tartibi 6 ga teng bo‘lgan elementga ega ekanligini ko‘rsating.
      
   4. 
      
      Tartibi 15 ga teng bo‘lgan gruppaning kommutativ ekanligini isbotlang.
      
   5. 
      
      (Z₁₂, +₁₂) gruppaning barcha 2-qism gruppalarini toping.
      
   6. 
      
      (Z₁₂, +₁₂) gruppaning barcha 3-qism gruppalarini toping.
      
   7. 
      
      A₄ gruppaning barcha 2-qism gruppalarini toping.
      
   8. 
      
      Tartibi pq ga teng bo‘lgan kommutativ gruppaning siklik ekanligini isbotlang. Bu yerda p, q-tub sonlar va p /= q.
      
   9. 
      
      Tartibi p² ga teng bo‘lgan gruppaning siklik bo‘lishini yoki siklik gruppalarn- ing to‘g‘ri yig‘indisi shaklida ifodalanishini isbotlang.
      
   10. 
       
       Agar tartibi 28 ga teng bo‘lgan gruppa tartibi 4 ga teng yagona qism grup- paga ega bo‘lsa, u holda bu gruppaning kommutativ ekanligini isbotlang.
       
   11. 
       
       S₄ gruppaning barcha Silov 3-qism gruppalarini toping.
       

12. 
    
    Gruppa yagona xos qism gruppaga ega bo‘lishi uchun u siklik bo‘lib, tartibi
    

p² ga teng bo‘lishi zarur va yetarli ekanligini isbotlang.

13. 
    
    |G/Z(G)| = 91 tenglik o‘rinli bo‘ladigan G gruppa mavjudmi?
    
14. 
    
    Agar G gruppaning P Silov p-qism gruppasi va H qism grupalari berilgan bo‘lib, N_G(P ) ⊆ H bo‘lsa, u holda N_G(H) = H ekanligini isbotlang.
    
15. 
    
    Agar G gruppaning P Silov p-qism gruppasi va H qism grupalari berilgan bo‘lib, P a H va H a G bo‘lsa, u holda P a G ekanligini isbotlang.
    
16. 
    
    Agar |G| = 143 bo‘lsa, uning Silov 11-qism gruppasi yagona ekanligini ko‘rsating.
    

17. 
    
    G gruppa va uning H normal qism gruppasi berilgan bo‘lsin. H gruppaning ixtiyoriy P Silov p-qism gruppasi uchun G = H · N_G(P ) bo‘lishini isbotlang.
    
18. 
    
    Ixtiyoriy chekli kommutativ gruppa o‘zining Silov p-qism gruppalari ichki to‘g‘ri ko‘paytmalari shaklida ifodalanishini isbotlang.
    
19. 
    
    Agar |G| = p^m bo‘lib, H to‘plam G gruppaning xos qism gruppasi bo‘lsa, u
    

holda aHa⁻¹ = H shartni qanoatlantiruvchi a ∈ G, a ∈/

ekanligini isbotlang.