O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi mirzo ulug‘bek nomidagi o‘zbekiston milliy universiteti

4.2.5-teorema (Silovning ikkinchi teoremasi). Aytaylik, G chekli gruppa bo‘lib, |G| = p^k · m bo‘lsin, bu yerda k ≥ 1 va (m, p) = 1. U holda G gruppaning ixtiyoriy p-qism gruppasi qandaydir Silov p-qism gruppasida yotadi. Barcha Silov p-qism gruppalari o‘zaro qo‘shma bo‘ladi.

Isbot. |G| = p^k · m bo‘lganligi uchun uning S− Silov p-qism gruppasi mavjud bo‘ladi, ya’ni |S| = p^k. Quyidagi chap qo‘shni sinflar oilasini qaraymiz
L_S = {xS | x ∈ G}.

₌ ·
Aytaylik, H to‘plam G gruppaning p-qism gruppasi bo‘lsin. H gruppadan L_S to‘plamga chap ta’sirni quyidagicha aniqlaymiz. ∀h ∈ H va xS ∈ L_S uchun h ∗ xS = (h · x)S. Ta’kidlash joizki, bu ta’sir to‘g‘ri aniqlangan, chunki xS = x^′S ekanligidan x^′ = x · s, s ∈ S, bundan esa h · x^′ = (h · x) · s, ya’ni h ∗ x^′S = (h · x)S kelib chiqadi.

Ma’lumki, |L_S

₌ |G|

|
|S|

p^k m _pk
= m, ya’ni o‘ng qo‘shni sinflar oilasi elementlari

soni p ga bo‘linmaydi. H gruppaning L_S to‘plamga ta’siri esa ushbu to‘plamni

kesishmaydigan orbitalarga ajratib, bu orbitalarning elementlari soni

| |
orb(y) = ^|H|

|St(y)|
bo‘ladi, bu yerda y ∈ L_S va St(y) statsionar qism gruppa. Demak,

|L_S

_{| =} ^Σ |H|
= ^Σ |orb(y)|,

_y |St(y)| _y
bu yerda yig‘indi har bir orbitadan bittadan tanlangan y element bo‘yicha olinadi. Ma’lumki, har bir orbitalardagi elementlar soni p ning qandaydir darajasi ko‘rinishida bo‘lib, bittadan ko‘p elementga ega bo‘lgan orbitalar elementlari soni

p ga bo‘linadi.
Tenglikning chap tomonida turgan |L_S| soni p ga bo‘linmaganligi uchun bitta elementli orbitalar mavjud. Demak, xS ∈ L_S element mavjud bo‘lib, orb(xS) =
{xS}, ya’ni ∀h ∈ H uchun (h·x)S = xS. Bundan esa, Hx ⊂ xS, ya’ni H ⊂ xSx⁻¹ kelib chiqadi. |xSx⁻¹| = |S| = p^k ekanligi uchun xSx⁻¹ ham Silov p-qism gruppasi bo‘lib, u H qism gruppani o‘z ichiga oladi.

| |
Agar H qism gruppa Silov p-qism gruppasi bo‘lsa, u holda H = p^k ekanligidan H = xSx⁻¹ bo‘ladi, ya’ni H gruppa berilgan S Silov p-qism gruppasiga qo‘shma bo‘ladi. Bundan esa, G gruppaning barcha Silov p-qism gruppalari o‘zaro qo‘shma ekanligi kelib chiqadi.

∀ ∈
Agar G gruppaning yagona Silov p-qism gruppasi mavjud bo‘lsa, u holda Silovning ikkinchi teoremasidan uning normal qism gruppa ekanligi kelib chiqadi. Chunki, agar H yagona Silov p-qism gruppasi bo‘lsa, u holda unga qo‘shma bo‘lgan barcha qism gruppalar H bilan ustma-ust tushadi, ya’ni g G uchun gHg⁻¹ = H bo‘ladi. Bu esa H qism gruppaning normal ekanligini anglatadi.
Endi Silovning uchinchi teoremasini, ya’ni chekli gruppaning Silov p-qism grup- palari soni bilan bog‘liq bo‘lgan teoremani keltiramiz.