O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi mirzo ulug‘bek nomidagi o‘zbekiston milliy universiteti

4.2.3-misol. Agar G nokommutativ gruppa uchun |G| = p³ bo‘lsa, u holda
|Z(G)| = p ekanligini ko‘rsating, bu yerda p – tub son.
Yechish. |G| = p³ ekanligidan 4.2.3-teoremaga ko‘ra |Z(G)| > 1 kelib chiqadi. G gruppa nokommutativ bo‘lganligi uchun |Z(G)| /= p³. Demak, |Z(G)| = p yoki |Z(G)| = p². Agar |Z(G)| = p² bo‘lsa, u holda |G/Z(G)| = p bo‘lib, G/Z faktor gruppaning siklik ekanligi, bundan esa, G gruppaning kommutativligi kelib chiqadi. Demak, |Z(G)| = p. Q
4.2.4-misol. Tartibi 45 ga teng bo‘lgan ixtiyoriy gruppa tartibi 9 ga teng normal qism gruppaga ega ekanligini ko‘rsating.
Yechish. Gruppaning tartibi 45 = 3² · 5 bo‘lganligi uchun, uning Silov 3- qism gruppasi mavjud. U holda Silovning uchinchi teoremasiga ko‘ra, Silov 3- qism gruppalarning soni uchun n₃ = 3k + 1 va n₃ | 45. Bu munosabatlar esa k = 0, ya’ni n₃ = 1 bo‘lgandagina bajariladi. Demak, gruppaning yagona Silov 3-qism gruppasi mavjud bo‘lib, uning tartibi 9 ga teng. Silov 3-qism gruppasining yagonaligidan esa, uning normal bo‘lishi kelib chiqadi. Q
4.2.5-misol. Tartibi 96 ga teng bo‘lgan gruppaning tartibi 16 yoki 32 ga teng bo‘lgan normal qism gruppasi mavjudligini ko‘rsating.
Yechish. Tartibi 96 = 2⁵ ·3 bo‘lgan G gruppaning Silov 2-qism gruppalari soni n₂ bo‘lsin. Silovning uchinchi teoremasiga ko‘ra n₂ = 2k + 1 va n₂ | 96 bo‘ladi. Bundan esa, n₂ = 1 yoki n₂ = 3 ekanligi kelib chiqadi.
Agar n₂ = 1 bo‘lsa, u holda gruppaning yagona Silov 2-qism gruppasi mavjud.
Uning tartibi 32 ga teng bo‘lib, u normal qism gruppa bo‘ladi.
Agar n₂ = 3, ya’ni G gruppaning 3 ta Silov 2-qism gruppasi mavjud bo‘lsa, u holda ushbu Silov 2-qism gruppalarni A, B va C kabi belgilab, A ∩ B kesishmani qaraymiz. |A| = |B| = |C| = 32 ekanligidan A ∩ B qism gruppaning tartibi ham 32 ning bo‘luvchisi ekanligi kelib chiqadi. A /= B bo‘lganligi uchun |A ∩ B| <

|AB|

32, hamda |AB| ≤ 96 ekanligidan va |A ∩ B| = |AB| = ^|A||B|
₌ 32·32
|AB|
₌ 32·32
|AB|

tenglikdan |A ∩ B| > 8 bo‘lishini hosil qilamiz. Demak, |A ∩ B| = 16. Bundan esa,

[A : A ∩ B] = 2 va [B : A ∩ B] = 2 kelib chiqib, A ∩ B a A va A ∩ B a B ekanligi hosil bo‘ladi. Bu esa, A, B ⊆ N (A∩B), ya’ni AB ⊆ N (A∩B) ekanligini bildiradi.

|A∩B|

·₌
|N (A ∩ B)| ≥ |AB| = ^|A||B|
32 32
16
= 64 munosabatdan esa, |N (A ∩ B)| = 96,

ya’ni N (A ∩ B) = G kelib chiqadi. Bu esa A ∩ B qism gruppa G gruppaning tatribi 16 ga teng normal qism gruppasi ekanligini anglatadi. Q